小型高速透平膨胀机的设计与实验研究

这是我的本科生毕业设计。

您可以非商用地引用本文任何文字片段、图、表和计算程序，无需注明出处。请勿商业使用。

本文是工程类问题，虽然设计过程均参照参考书上的设计过程，但由于条件有限，所设计的任何成果均未经过验证，我不能保证实际工作效率达到标准、不能保证其任何数据的有效性。如果您参考本文的话，我不为文中任何的错误对您造成的损失负责，您有任何修改意见也可以联系我。

• 摘要
  • 关键词
• ABSTRACT
  • KEYWORDS
• 绪论
  • 课题研究背景及意义
  • 膨胀机简介
  • 膨胀机的历史
  • 国内现状
  • 透平膨胀机
  • 透平膨胀机的结构
  • 透平膨胀机的分类
  • 本文主要工作及安排
• 符号表
  • 符号
  • 角标
• 设计要求分析
  • 设计目标
  • 分析过程
• 膨胀机的热力性能计算
  • 给定的参数及要求
  • 预计算
  • 热力计算与流道基本尺寸的确定
  • 喷嘴中的流动
  • 工作轮中的流动
  • 喷嘴与工作轮基本尺寸的确定
  • 内部损失计算
  • 扩压器中的流动
  • 蜗壳型线的确定
  • 效率、制冷量、功率和转速
  • 小结
• 叶轮构型计算及三维建模
  • 喷嘴叶片型线的选定及叶片的配置
  • 工作轮形状的确定
  • 设计参数
  • 造型方法
• 实验平台搭建和初步试验研究
  • 气路系统
  • 压缩机系统
  • 数据测量与采集系统
  • 初步试验研究
• 结论与展望
  • 结论
  • 展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录
  • 计算程序
  • 外文文献翻译

摘要#

在制冷和低温工程技术领域，透平膨胀机是极为重要的技术装备。它作为空分设备的核心部件，透平叶轮的设计关乎到整套设备的等熵效率以及制冷量。虽然近些年来数值模拟技术逐渐成熟，叶轮设计的方法逐渐引入了三维空间模拟技术，但传统透平膨胀机的一维设计依然具有重要的比重。本文使用一维设计方法设计透平膨胀机，在继承了传统透平膨胀机的一维设计理论的前提下，本文总结并编写出了一套自动热力计算程序，输入给定要求之后，程序会自动给出完整的计算过程和结果，随后直接根据这些热力计算结果、叶型数据、直接导入三维建模软件生成叶轮型线，极大提高工作效率，减少劳动强度。本文主要工作如下：

1. 本文针对小型低温透平膨胀机的一维设计理论，编写了一套自动计算程序，可以对设计温度区间、压力区间可以实现输入进、出口压力温度，立刻自动进行一维热力计算，并完整呈现每一步的步骤和结果。程序预先编制了待计算区间的物性表，采用线性插值的方法估计压力、温度、密度、焓、熵、压缩因子，可以实现在百分之一以内的误差。

2. 根据热力计算数据，设计膨胀机叶轮型线，使用径-轴流式叶轮，径流部分采用直叶片，轴流部分按出口相对流速与叶轮不同半径上圆周速度的匹配的方式确定出口角度，然后使用二次曲线过渡，设计出口导流段。最终使用 UG 导入计算的出的出口导流段型线，进行三维建模，给出三维叶轮设计结果。

3. 随后将喷嘴、叶轮制造加工成实物，结合我们设计的实验平台，在给定进出口压力下测量叶轮降温曲线，降温到 100 K 大致需要 4 小时。在变工况实验中，我们改变进口压力，测量平衡时的流量和转速曲线，可以观察到随压力升高流量和转速都会提高，压力较高时流量变化较为缓慢。

关键词#

小型低温透平、一维热力计算、透平膨胀机、等熵膨胀、参数设计

ABSTRACT#

In the field of refrigeration and cryogenic engineering, turboexpanders are extremely important technical equipment. It is the core component of air separation equipment, and the design of the turbine is related to the isentropic efficiency and cooling capacity of the complete equipment. Although the numerical simulation technology has gradually improved in recent years, and the three-dimensional simulation technology are introduced to turbine designing, the one-dimensional design of the traditional turbo expander still has an important proportion. In this paper, the one-dimensional design method is used to design the turboexpander. Inherited the traditional one-dimensional design theory of the turboexpander, this paper summarizes and developed an automatic thermal calculation program. After inputting the given requirements, the program will complete the calculation process and display results automatically, and then the turbine profile can be generated based on these thermodynamic calculation results, turbine data, and directly import to 3D modeling software, which greatly improves working efficiency and reduces labor difficulty. The main work of this paper is as follows:

1. This paper has written an automatic calculation program for the one-dimensional design theory of small-scale low-temperature turboexpander. It can analyse the input and outlet pressure temperature for the design temperature interval and pressure interval, and automatically perform one-dimensional thermal calculation immediately. Completely show the calculation method and results of each step. There are preset physical property table of the specific interval to be calculated, and uses linear interpolation method to estimate the pressure, temperature, density, enthalpy, entropy and compression factor, which can achieve the error within one percent.

2. According to the thermal calculation data, design the expander impeller profile line. We use the centrifugal turbine. The inlet part adopts the straight blade. And the axial flow part matches of the relative flow velocity of the outlet and the circumferential speed of the different radius of the impeller. Then it’s designed using a quadratic transition. Finally, the UG is used to import the calculated outlet profile data, and then the impeller design result is given as a 3D model.

3. Then the nozzle and impeller are manufactured. Combined with the experiment platform we designed, the impeller cooling curve is measured at a given inlet and outlet pressure. It takes about 4 hours to cool down to 100 K. During different working condition experiment, we changed the inlet pressure and measured the flow rate and rotation speed curve during the balance. It can found that the flow rate and rotation speed increase with the increase of the pressure, and the flow rate changes slowly when the pressure is high.

KEYWORDS#

Turbine for cryogenic; 1-d thermal design; Turboexpander; Isentropic expansion; Parameter design

绪论#

课题研究背景及意义#

绝热等熵膨胀是获得低温的重要途径之一，也是利用压差对外做功的一个重要的热力过程。对于这一重要的过程中，透平膨胀机是实现近似绝热等熵膨胀的一种高效的流体机械。目前，从民用的大型空调到低温科学中的低温风洞、空气分离、极低温氢、氦液化，透平膨胀机都是必不可少的核心装备。

膨胀机简介#

透平膨胀机（turboexpander），又称膨胀透平，是一种离心或轴流的叶轮机械。高压气体通过它时，气体产生膨胀对外做功，通常用来驱动压缩机或者发电机。

由于气体膨胀对外做功，气体在透平中近似经过一个等熵绝热过程，出口处的低压乏气将会有很低的温度。通常可能会有 120 K 甚至更低的温度（取决于工作压力和气体性质）。由于出口的温度较低，气体很可能出现带液现象。

透平膨胀机广泛用于作为工业生产中制冷的冷源，例如乙烷和天然气液化，空气液化以及空气低温分离（如氧、氮、氦、氩、氪），以及其他低温产业。

透平膨胀机目前的额定功率范围大致在 750 W 到 7.5 MW 之间（1 hp 到 10,000 hp）。

膨胀机的历史#

德国工程师 Carl Wilhelm Siemens 在 1857 年首次提出可以使用膨胀机械进行绝热过程（西门子循环）以达到低温目的。30 年之后，在 1885 年，比利时的 Ernest Solvay 尝试使用往复式膨胀机，但由于在这样的温度下机器的润滑问题，不能达到任何低于 -98 ℃ 的温度。

1902 年，法国工程师 Georges Claude 成功地使用往复式膨胀机液化空气。他使用脱脂、烧焦的皮革包装作为活塞密封件，没有使用任何润滑。在气压仅为 40 bar（4 MPa）的情况下，Claude 实现了近乎等熵膨胀，最终达到了比之前全部温度都低的温度。

第一台透平膨胀机可能是在大约 1934 年到 1935 年由一位在德国 Linde AG 旗下公司工作的意大利工程师 Guido Zerkowitz 设计的。

1939 年，俄罗斯物理学家 Pyotr Kapitsa 完善了离心式透平膨胀机的设计。他的第一个实用原型是由莫涅耳合金（Monel metal）制成，外径仅为 8 厘米（3.1英寸），以每分钟 40,000 转的速度运转，每小时对 1000 立方米的空气进行膨胀。它使用水泵作为制动器，效率为 79-83%。从那时起，大多数工业用透平膨胀机都是基于 Kapitsa 的设计，离心式透平膨胀机已经覆盖了几乎 100% 的工业气体液化和低温工艺要求。由于液态氧的使用，需要使用氧气的炼钢基本工艺被彻底改变。

1978年，Pyotr Kapitsa 因其在低温物理领域的工作而获得诺贝尔物理奖。

1983年，圣地亚哥天然气和电气公司率先在天然气减压站安装透平膨胀机以进行能源回收。

国内现状#

在我国建国以后，随着经济的发展，由于国家和市场的需求，透平膨胀机在低温装置中得到了广泛的应用。

1957 年首先在飞机空调装置中采用了向心径向冲动式透平膨胀机；1958 年又在高低压流程的 3350 空气分离装置中采用向心径流冲动式透平膨胀机。从 1960 年以后，我国有自行设计和试验了低压空分装置用的向心径流反动式透平膨胀机。1966 年以后，相机设计和制造了标态产氧量从 600 到 30000 m³/h 的各类全低压空分装置使用的低压空气透平膨胀机；标态产氧量为 150 和 300 m³/h 的中压空分装置用的中压空气透平膨胀机。在这同时，还发展了各种其他用途的透平膨胀机。其中有标态进气量达 180000 m³/h 的高空环境模拟装置用透平膨胀机，也有温度低达 15 K 的宇宙环境模拟装置用的氦气透平膨胀机，转速达 120000 r/min 的高能物理用大型氦气透平膨胀机，还有用于氢、天然气的液化以及回收能量的氢、天然气、油田气、化工为期、烟气、高炉气等透平膨胀机。此外还有低比焓降的空分-氮洗联合流程用大气量、低转速的透平膨胀机和高比焓降的中压氮液化装置用分两级膨胀的中压膨胀机。

为配合低温装置发展的需要，有关单位也开展了一系列的试验研究工作。在制造工艺方面，也先后试验成功了工作轮的精密浇铸成型、笔试工作轮的轮盖钎接工艺、工作轮的电火花加工成型、气体轴承的挤压成型等新工艺。

当然，我国的透平膨胀机技术与国际先进水平仍具有一定差距。随着科学技术的现代化，这些差距将会缩小，甚至赶超。

透平膨胀机#

透平膨胀机为低温技术领域的关键性技术，它是空气分离设备的核心部件。通常利用透平对气体的膨胀作用，制取冷量实现降温目的，通常透平膨胀机可以根据不同的进出口压力，达到 120 K 左右甚至更低的温度，进而达到天然气液化、空气液化、空气分离的效果。

透平膨胀机是速度型膨胀机。速度型是指其能量转换机制，气体以压差为动力，靠压差推动气体，使气体有较高流速，然后靠气体的速度推动叶轮旋转、做功，进而达到膨胀目的，同时产生冷量。速度型膨胀机不仅仅用于制冷低温方向，其他方向（例如火力发电等）中也会使用透平作为其核心能量转换部件，靠高压蒸汽推动叶轮旋转对外做功发电，只不过这时工作的温度是在高于环境温度，即使低压乏汽会比进口高压过热蒸汽的温度要低，但依然是高于环境温度。

热力过程#

我们知道，我们所使用的工质气体具有一定的参数，主要包括压力（压强）、密度、温度、焓、熵、内能等。如果进口提供的工质与环境的这些参数有差异，那么这部分差异即有可能被用来转换成人们可以使用的能力。比如热电偶现象就是利用温度的差异可以对外提供一个电势。而本文的主要内容——透平膨胀机，则是利用压差做功的机器。对于理想气体，通常都认为上述 6 个参数只有两个自变量。透平膨胀机通常被认为是一个等熵膨胀过程，在叶轮中高速流过的气流，通过叶轮时间极短，与叶轮壁面的热量交换极少，因此气体近似对外绝热。然后由于气体推动叶轮旋转对外做功，导致内能减少，进而引起压力下降，这就是透平膨胀机的主要过程。

透平膨胀机的结构#

透平膨胀机的关键部件是工作叶轮。透平这个词英文中叫 Turbine，音译过来是透平。另外有一种翻译叫涡轮，也是没有问题的。上述翻译都是比较抽象的，我个人比较欣赏的翻译是将其叫做叶轮机械。

透平，来源于拉丁文 turbo，turbo 的含义是涡流、涡旋，turbo 也与 turbulence（湍流）相关。透平是一种旋转的机械装置，它从一股流体中提取能量并将其转化为有用功。当与发电机组合时，涡轮机产生的功可用于产生电力。透平是一种至少拥有一个旋转的运动部件（即转子）的流体机械（turbomachine），该转子是一个附有叶片的轴或鼓（即叶轮）。运动的流体作用在叶片上，使得叶轮转动并将能量传递给转子。较早期的透平的例子就是风车和水轮。简而言之，用于功能转换的叶轮机械就是透平。

透平膨胀机中的关键部件就是透平，它是将气体的压差势能转化为功的地方，也是冷量产生的地方。除了透平以外，他还有其他多种部件。按照不同的功能可以先分成通流部分、制动器、机体三部分。通流部分，从进口开始，有蜗壳、喷嘴、工作轮（叶轮）、扩压器，最终到出口。机体部分包括主轴、内轴封、内轴承、外轴承、外轴封等等。制动器通常直接连在主轴上，可以是一个风机轮、发电机等等，这部分与透平膨胀机的关系不大。

表 TODO 透平膨胀机主要部件名称对照表

序号	部件名称
1	扩压器
2	蜗壳
3	工作轮
4	喷嘴
5	内轴封
6	内轴承
7	主轴
8	机壳
9	外轴承
10	外轴封
11	制动器

透平膨胀机的分类#

上述透平膨胀机的不同结构部件有不同种选择，我们可以把透平膨胀机按照不同依据分为多种类别。

表 TODO 透平膨胀机的分类依据及类别

分类依据	类别
反动度 $ \rho $ （工质在工作轮中膨胀的程度）	反动式透平膨胀机（$ \rho > 0 $）、冲动式透平膨胀机（$ \rho = 0 $）
工质在工作轮中的流动方向	径流式、径-轴流式、轴流式
工质膨胀过程中所处的状态	气相膨胀机、两相膨胀机
工作轮叶片两侧有无轮盘、轮盖	闭式工作轮（全有）、开式工作轮（全无）、半开式工作轮（无轮盖）
级数	单级透平膨胀机、多级透平膨胀机
制动方式	风机制动透平膨胀机、增压机制动透平膨胀机、电机制动透平膨胀机、油制动透平膨胀机、等等
轴承型式	油轴承透平膨胀机、气体轴承透平膨胀机、磁轴承透平膨胀机、等等

a) 径流式 b) 径-轴流式 c) 轴流式

a) 半开式 b) 闭式 c) 开式

某些场合，径流式和径-轴流式统称为径流式（centrifugal turbine）。需要注意的是，径流式透平膨胀机是径向进轴向出，而径流式的透平压缩机是轴向进径向出，二者恰好相反，一个膨胀气体，一个压缩气体。膨胀机径向进轴向出，高压气体由喷嘴从半径处向心流动，逐渐转向，同时推动叶轮，对外做功，出口乏气为低压低温气体。而压缩机轴向进径向出，叶轮高速旋转，迫使气体离心沿径向甩出叶轮，出口经扩压器将速度转化为压力，同时从进口处吸气，整体实现气体压缩的目的。

a) 压缩机 b) 膨胀机

本文主要工作及安排#

透平膨胀机为低温技术领域的关键性技术，它是低温的基本来源之一。透平膨胀机目前被广泛应用于空气分离配套产业、石油化工行业、天然气液化、低温粉碎设备等诸多行业。本文结合工程热力学和制冷低温技术原理提供一种满足给定要求的透平膨胀机的设计过程。最后配有自动计算程序，实现输入给定的进出口压力温度需求参数，直接得出完整计算过程，再根据给定参数进行叶轮设计的这一过程。

本文章节安排如下：

第 1 章：绪论。绪论中介绍了膨胀机的定义、作用，以及透平膨胀机的提出、发展历史等，不同种类的膨胀机的区别。之后结合国内发展现状，引出本文主要目标。

第 2 章：设计要求分析。分析设计要求，讨论可以实现的方法。确定大致设计方向，在给定前提下，要求选择制冷效果最好的方案，即等熵效率最高的情况。

第 3 章：热力计算与流道基本尺寸的确定。本部分根据一维设计理论，估取、选取了部分参数，根据给定要求参数进行查表算出喷嘴和工作轮中的热力过程和关键点物性参数，然后根据流量要求计算流道尺寸，最终得到喷嘴、工作轮的关键几何尺寸和角度。

第 4 章：计算叶轮参数。根据上一步计算的尺寸，进一步确定工作轮轴向长度、叶片厚度，同时确定工作轮子午面型线和出口导流段的叶片型线。并使用 UG 进行叶轮模型的构建。

第 5 章：实验平台搭建和初步实验研究。介绍了实验平台的气路系统、透平膨胀机低温制冷系统以及数据测量与采集系统。并进行了初步的实验研究，得到了设计叶轮的降温曲线。另外还进行了变工况实验，分析了进口压力对流量和转速的影响。

符号表#

符号#

符号	单位	说明
$ p $	$ Pa $	气体压强
$ T $	$ K $	气体温度
$ i $	$ J/kg $	相对某一基准点的绝对比焓
$ h $	$ J/kg $	两点之间的比焓降
$ c $	$ m/s $	气流速度
$ u $	$ m/s $	气流速度
$ q_m $	$ kg/s $	气体质量流量
$ q_V $	$ m^3/s $	气流体积流量

角标#

符号	说明
$ X_0 $	膨胀机进口位置某参数
$ X_1 $	工作轮进口位置某参数
$ X_2 $	工作轮出口位置某参数
$ X_s $	表示等熵过程的比焓降等过程量，或者经过等熵过程结束后的比焓等状态量
$ X_s $	satified 表示理想过程
$ X^\ast $	临界状态某参数
$ X_u $	表示某点速度的圆周分速度
$ X_r $	表示某点速度的径向分速度
$ X_m $	mean 某参数的平均值
$ X_2’ $	工作轮出口叶顶处某参数（外径处）
$ X_2m $	工作轮出口平均半径处某参数
$ X_2’’ $	工作轮出口叶根处某参数（内径处）

设计要求分析#

设计目标#

设计一个小型高速透平膨胀机满足以下工况

• 工质：空气
• 膨胀气量：$ 420 Nm^3/h $；
• 膨胀机进口温度：$ 130 K $；
• 膨胀机进口压力：$ 0.48 MPa $；
• 膨胀机出口压力：$ 0.11 MPa $。

分析过程#

阅读这个题目，我们可以把这个题目理解为，设计一种装置，进口气体是 $ 130K $、$ 0.48MPa $，出口压力是接近大气压的 $ 0.11MPa $，并且必须有足够的通流能力，满足 $ 420Nm^3/h $ 的流量要求。

首先，最简单的方法就是直接把高低压相连，把高压气体直接通向低压大空间中，如果流量不满足要求的话，就调整管子的直径，总有一个合适的通流面积能满足这个要求。这种方案是肯定能满足给定要求的，但是其中存在诸多问题。第一个问题，直接连通高低压，中间的管子进口处高压向低压流动，流速也是增加的，顺压力梯度流动，这部分没有任何问题。但是出口处从管道向大空间流动，此时会产生大量的涡，浪费大量的能量，同时也会产生巨大的噪音。第二个问题，这个高压到低压的过程是蕴含大量的机械能（压差势能）的，这部分能量直接浪费掉是非常不经济的，同时也不符合节能环保的理念。第二个问题，也是最重要的方面，通常使用膨胀机的目的都是获得冷量，如果直接这样连通进出口，的确气体会有膨胀做功，但是相比以轴功率形式输出功，以机械做功的方式消耗气体的内能，这种直接膨胀获得的冷量简直太少了。这种直接的膨胀过程是压差转化为气体流速，快速流动的气体又通过摩擦的方式回到较低流速，相当于几乎完全浪费了这部分压差势能。综上所述，这种方案只是给我们一种思路，它仅仅只是一种假想的简单过程，我们必须对其加以改进。

改进的目标就是回收部分机械能。最简单的回收压差势能的方式就是简单的活塞机构。活塞吸气时，进气门打开，排气门关闭，从高压端吸气。当吸入一定量气体时（取决于进出口压力比），关闭进气门，活塞剩余的冲程为自由膨胀，由于气缸内是高压气体，气缸背压是低压端，此过程自发进行，向低压端膨胀，同时通过曲柄连杆机构对外做功。当活塞达到下止点时，按照之前的设计，此时气缸内的压力应该等于低压端压力，这时排气门打开，然后曲柄转回，带动活塞，向低压端近乎等压排气。在这样的设计下，理想情况下，气体近似做等熵膨胀，可以回收大量的功。我们可以利用这部分机械能做一些额外的事情，例如发电，或者对进口气体进行涡轮增压。并且，因为一部分内能转化为了机械功对外输出，这样更有利于产生冷量。

既然活塞膨胀机可行，那么透平膨胀机应该也可行，并且透平膨胀机的很多地方要优于活塞式膨胀机。活塞膨胀机需要往复运动，噪音较大，而且工作不连续，易造成进、出口压力不稳定，压力波动容易给前后连接的器件带来一些周期性的损耗，加快设备老化。透平膨胀机通流能力大，易于小型化，连续工作，噪音相比之下较小。但透平膨胀机设计较为复杂，对实际工况要求较高，必须在设计工况附近工作。其实这个改进的目标也是我们使用透平膨胀机的目的，通常在低温工程应用中，使用透平膨胀机进行近似等熵膨胀，以达到较大的焓降，进而实现获取低温的目标工质气体。

本文的主要内容就是在符合题目要求条件之下，尽可能保证较大的焓降，尽可能提高等熵效率。

膨胀机的热力性能计算#

给定的参数及要求#

• 工质：空气
• 膨胀气量：$ 420 Nm^3/h $；
• 膨胀机进口温度：$ 130 K $；
• 膨胀机进口压力：$ 0.48 MPa $；
• 膨胀机出口压力：$ 0.11 MPa $。

要求：用一元流动方法确定在设计工况下具有较高效率时，透平膨胀机流道的主要尺寸及其型式。

预计算#

简化假定#

在预计算时，由于很多参数还不知道，为了简化需要先做一些假定

1. 不考虑进口蜗壳和出口扩压器的影响；
2. 假定喷嘴和工作轮中的速度系数不变；
3. 不考虑次要的流动损失，如喷嘴与工作轮之间的间隙的影响、过盖度的影响等。

有关参数的估取#

1. 喷口出口角 $ \alpha_1 = 16^\circ $；
2. 工作轮出口角 $ \beta_2 = 30^\circ 15’ $；
3. 喷嘴中的速度系数 $ \phi = 0.96 $；
4. 工作轮中的速度系数 $ \psi = 0.84 $；
5. 工作轮叶高轮径比 $ l_1 / D_1 = 0.04 $；
6. 工作轮相对轴向间隙 $ \delta / l_m = 0.017 $；
7. 工作轮轮背摩擦系数 $ \zeta_f = 0.399 \times 10^-6 $；
8. 工作轮型式：半开式径轴流叶轮
9. 轮毂比 $ k_r = 0.225 $；
10. 出口径向速度比 $ C_{2r} = 0.175 $；
11. 出口减窄系数 $ \tau_2 = 0.965 $。

方案比较与最佳参数的估算#

根据上述所给定和估取的参数，采取下述几种方法估算透平膨胀机的基本参数。

1. 最大流道效率法；
2. 满足工作轮内加速运动的最小反动度法；
3. 比转速法；
4. 相似模化法。

方案 1 的计算结果见下表，这里对四个 $ \mu $ 值做了计算。

• $ \psi^2 = 0.84^2 = 0.7056 $
• $ \phi^2 = 0.96^2 = 0.9216 $
• $ 1 - \phi^2 = 1 - 0.9216 = 0.0784 $
• $ \cos \beta_2 = \cos 30^\circ 15’ = 0.8638 $
• $ \cos^2 \beta_2 = 0.8638^2 = 0.7462 $
• $ \cos \alpha_1 = \cos 16^\circ = 0.9613 $
• $ \cos^2 \alpha_1 = 0.9613^2 = 0.9240 $
• $ (1 - \phi^2) \times (1 - \cos^2 \beta_2\psi^2) = 0.0784 \times (1 - 0.7462 \times 0.7056) = 0.03712 $
• $ \cos^2 \alpha_1\phi^2 = 0.9240 \times 0.9216 = 0.8516 $
• // TODO

计算结果中的 $ \eta_u, \eta_s, \bar{u}_1 $ 及 $ \rho $ 与 $ u $ 的关系提供在下图中。

从图中可以看出：流道效率 $ \eta_u $ 在轮径比 $ \mu $ 很大的范围内，是随着 $ \mu $ 的下降而增大的。这是因为轮周功中 $ \frac{1}{2} (u_1^2 - u_2^2) = \frac{u_1^2}{2} (1 - \mu^2) $ 这一项有显著的影响；

热力计算与流道基本尺寸的确定#

已知条件#

• 工质：空气
  • 气体常数：$ R_g = 287.2 N \cdot m/(kg \cdot K) $
  • 等熵指数：$ \kappa = 1.4 $
  • 相对分子质量：$ M_r = 28.96 $
• 膨胀气体量：$ q_V = 420 Nm^3/h $
• 膨胀气体量：$ q_m = q_V / v = 2.52 kg/s $
• 进口压力：$ p_0 = 0.48 MPa $
• 进口温度：$ T_0 = 130 K $
• 出口压力：$ p_2 = 0.11 MPa $

估取及选用值#

估取#

• 喷嘴中的速度系数 $ \varphi = 0.96 $
• 工作轮中的速度系数 $ \psi = 0.84 $
• 工作轮叶高轮径比 $ l_1 / D_1 = 0.04 $
• 工作轮相对轴向间隙 $ \delta / l_m = 0.017 $
• 喷嘴出口减窄系数 $ \tau_N = 0.98 $
• 工作轮进口减窄系数 $ \tau_1 = 0.965 $
• 工作轮出口减窄系数 $ \tau_2 = 0.775 $

选定#

• 喷嘴出口叶片角 $ \alpha_1’ = 16^\circ $
• 工作轮进口叶片角 $ \beta_1’ = 90^\circ $
• 工作轮出口叶片角 $ \beta_2’ = 30^\circ15’ $

选取#

• 轮径比 $ \mu = 0.498 $
• 反动度 $ \rho = 0.49 $
• 特性比 $ \bar{u}_1 = 0.66 $

估取扩压比#

$ p_2 / p_3 = 1.04 $，因而 $ p_3 = p_2 / 1.04 = 0.11 MPa / 1.04 = 0.10577 MPa $

喷嘴中的流动#

1. 由 $ p_0, T_0 $ 及 $ p_2, p_3 $ 从 i-s 图中可查得

   • 进口比焓 $ i_0 = 124.82 kJ/kg $
   • 膨胀机出口理想比焓 $ i_{2s} = 81.997 kJ/kg $
   • 工作轮出口理想比焓 $ i_{2s}’ = 81.081 kJ/kg $
   • 膨胀机总的理想比焓降 $ h_s = i_0 - i_{2s} = 130.20 - 85.499 = 44.701 kJ/kg $
   • 通流出口理想比焓降 $ h_s’ = i_0 - i_{2s} = 130.20 - 84.546 = 45.654 kJ/kg $

2. 等焓理想速度 $ c_s = \sqrt{2 h_s’} = \sqrt{2 \times 44701} = 302.17 m/s $

3. 由 $ p_0, T_0 $ 从 Z-p 图上查得 $ Z_0 = 0.95344 $

4. 喷嘴中等熵比焓降 $ h_{1s} = (1 - \rho) h_s’ = 23.283 kJ/kg $

5. 喷嘴出口实际速度 $ c_1 = \varphi \sqrt{2 h_{1s}} = 207.16 m/s $

6. 喷嘴出口理想比焓 $ i_{1s} = i_0 - h_{1s} = 101.54 kJ/kg $

7. 喷嘴出口实际比焓 $ i_{1} = i_0 - \varphi^2 h_{1s} = 103.36 kJ/kg $

8. 由 $ p_0, T_0 $ 及 $ i_{1s} $ 从 i-s 图可查得 $ p_1 = 0.27886 MPa $

9. 由 $ p_1, i_1 $ 从 i-s 图可查得 $ T_1 = 112.65 K $

10. 由 $ p_1, T_1 $ 从 Z-p 图可查得 $ Z_1 = 0.95881 $

11. 喷嘴出口气体密度 $ \rho_1 = \frac {p_1} {Z_1 R_g T_1} = 8.9896 kg/m^3 $

12. 多变指数 $ n = \frac {\kappa} {\kappa - \varphi (\kappa - 1)} = 1.3574 $

13. 喷嘴出口喉部界面速度 $ c^\ast = \sqrt {2 Z_0 R_g T_0 \frac {\kappa} {\kappa - 1} \frac {n - 1} {n + 1}} = 194.37 m/s $

14. 由于 $ c_1 > c^\ast $，采用收缩喷嘴时，气流在斜切口有偏转角，

    $$ \frac {\sin (\alpha_1’ + \delta)} {\sin (\alpha_1’)} = \frac {(\frac {2} {n + 1}) ^ {\frac {1} {n - 1}} \sqrt {\frac {n - 1} {n + 1}}} {(\frac {p_1} {p_0}) ^ {\frac {1} {n}} \sqrt {1 - (\frac {p} {p_0}) ^ {\frac {n - 1} {n}}}} = 1.00465 $$

    $ \sin (\alpha_1’ + \delta) = 1.00465 \sin (\alpha_1’) = 0.27692 $

    $ \alpha_1 = \alpha_1’ + \delta = 16.076 ^\circ $

    $ \delta = 0.07649 ^\circ = 4.58973 ‘ $

    一般希望 $ \delta < 2^\circ \sim 3^\circ $

15. 喷嘴出口状态下的声速 $ c_1’ = \sqrt{n Z_1 R T_1} = 205.202 m/s $

    比较第 5、13、15 三项可知 $ c_1 > c_1’ > c^\ast $ 说明在喷嘴喉部截面之前已经达到声速

16. 喷嘴出口绝对速度马赫数 $ {Ma}_{c1} = \frac {c_1} {c_1’} = 1.00954 $

    一般在 $ {Ma}_{c1} < 1.1 \sim 1.2 $ 时仍可采用收缩喷嘴

17. 喷嘴中的能量损失 $ q_N = (1 - \varphi ^ 2) h_{1s} = 1.82542 kJ/kg $

18. 喷嘴中的相对能量损失 $ \xi_N = \frac {q_N} {h_s’} = 0.03998 $

19. 喉部气体密度 $ \rho^\ast = \frac {2} {n + 1} ^ \frac {1} {n - 1} \rho_0 = \frac {2} {n + 1} ^ \frac {1} {n - 1} \frac {p_0} {Z_0 R_g T_0} = 8.51208 kg/m^3 $

i-s、Z-p 表

状态点	温度 (K)	压力 (MPa)	密度 ($ kg/m^3 $)	焓 (kJ/kg)	熵 ($ kJ/(kg \cdot K) $)	压缩因子
喷嘴进口设定状态	130.00	0.48000	13.488	124.82	5.5551	0.95344
扩压器出口理想状态	84.692	0.11000	4.6980	81.994	5.5551	0.96289
工作轮出口理想状态	83.736	0.10577	4.5678	81.081	5.5551	0.96313
喷嘴出口理想状态	105.26	0.23268	8.0363	101.54	5.5551	0.95805
喷嘴出口实际状态	106.96	0.23268	7.8917	103.36	5.5723	0.96005

工作轮中的流动#

1. 轮周速度 $$ u_1 = \bar{u}_1 c_s = 195.48 m/s $$

2. 出口圆周速度 $$ u_{2m} = \mu u_1 = 97.347 m/s $$

3. 工作轮进口气流角

   $$ \tan {\beta_1} = \frac {\sin {\alpha_1}} {\cos {\alpha_1} - \frac {u_1} {c_1}} = -180.84 $$

   $$ \beta_1 = 180 ^\circ - 89.628 ^\circ = 90.317 ^\circ $$

4. 进工作轮相对速度 $$ w_1 = \frac {c_1 \sin {\alpha_1}} {\sin {\beta_1}} = 56.037 m/s $$

5. 进工作轮相对速度的圆周分速度 $$ w_{1u} = c_1 \cos{\alpha_1} - u_1 = -0.30986 m/s $$

6. 进工作轮相对速度的径向分速度 $$ w_{1r} = c_1 \sin{\beta_1} = 56.036 m/s $$

7. 进工作轮处相对速度的马赫数 $$ {Ma}_{w_1} = \frac {w_1} {c_1’} = 0.27895 $$ 一般希望 $ {Ma}_{w_1} < 0.5 $，以免过大的进口损失。

8. 工作轮进口冲击损失 $$ q_{w_{1u}} = \frac {w_{1u}^2} {2} = 0.048006 J/kg $$ 可忽略不计。

9. 工作轮进口比焓 $$ i_1’ = i_1 + q_{w_{1u}} = 10.421 kJ/kg $$ 由于冲击损失很像，工作轮进口状态可以认为与喷嘴出口状态相同。

10. 由 $ p_1, i_1 $ 及 $ p_3 $ 从 i-s 图可查得工作轮出口等熵比焓 $$ i_{2s}’’ = 82.186 kJ/kg $$

11. 工作轮等熵比焓降 $$ h_{2s} = i_1 - i_{2s}’’ = 22.023 kJ/kg $$

12. 不考虑内部损失时，工作轮出口理想相对速度 $$ w_{2s} = \sqrt {2 h_{2s} + w_{1 \tau}^2 + u_{2m}^2 - u_1^2} = 135.84 m/s $$

13. 实际相对速度 $$ w_2 = \psi w_{2s} = 114.10 m/s $$

14. 工作轮中的能量损失 $$ q_r = \frac{1}{2} (w_{2s}^2 - w_2^2) = 2.716 kJ/kg $$

    $$ \xi_r = \frac {q_r} {h_s’} = 0.061924 $$

15. 工作轮出口实际比焓 $$ i_2 = i_{2s}’’ + q_r = 84.902 kJ/kg $$

16. 由 $ p_2, i_2 $ 从 i-s 图可查得，工作轮出口实际温度 $$ T_2 = 87.602 K $$

17. 由 $ p_3、T_2 $ 从 Z-p 图中可查得 $$ Z_2 = 0.96540 $$

18. 工作轮出口实际气体密度 $$ \rho_2 = \frac {p_3} {Z_2 R_g T_2} = 4.5289 kg/m^3 $$

19. 工作轮出口气流的绝对速度方向 $$ \tan {\alpha_2} = \frac {\sin {\beta_2}} {\cos {\beta_2} - \frac {u_2} {w_2}} = 47.215 $$

    $$ \alpha_2 = 88.787 ^\circ $$

20. 工作轮出口气流绝对速度 $$ c_2 = \frac{w_2 \sin {\beta_2}} {\sin {\alpha_2}} = 57.494 m/s $$

21. 余速损失 $$ q_K = \frac {c_2^2} {2} = 1652.8 kJ/kg $$ $$ \xi_K = \frac {q_K} {h_s’} = 0.037683 $$

22. 流道效率 $$ \eta_u = 1 - \xi_N - \xi_r - \xi_K = 0.86041 $$

通过上述计算所得的速度三角形数据如下表

字母	值	说明
$ \alpha_1 $	$ 16.076 ^\circ $	工作轮进口气流角
$ c_1 $	$ 203.05 m/s $	工作轮进口实际速度
$ u_1 $	$ 195.48 m/s $	工作轮进口圆周速度
$ \beta_1 $	$ 90.317^\circ $	工作轮进口相对气流角
$ w_1 $	$ 56.037 m/s $	工作轮进口相对速度
$ \alpha_2 $	$ 88.787 ^\circ $	工作轮出口气流角
$ c_2 $	$ 57.494 m/s $	工作轮出口实际速度
$ u_2 $	$ 97.347 m/s $	工作轮出口圆周速度
$ \beta_2 $	$ 30.25 ^\circ $	工作轮出口相对气流角
$ w_2 $	$ 114.10 m/s $	工作轮出口相对速度

喷嘴与工作轮基本尺寸的确定#

1. 工作轮直径 $$ D_1 = \sqrt {\frac {q_m} {\pi (\frac {l_1} {D_1}) w_1 \sin {\beta_1} \rho_1 \tau_1}} = 0.051799 m $$

   圆整后取 $$ D_1 = 50 mm $$ 这时 $$ \frac {l_1} {D_1} = \frac {q_m} {\pi D_1^2 w_1 \sin {\beta_1} \rho_1 \tau_1} = 0.042930 $$

2. 喷嘴出口直径 $$ D_N = D_1 + 2 \Delta_1 = 52 mm $$ 这里按固定叶片设计，因此取喷嘴与工作轮之间的径向间隙较小。如果采用转动喷嘴叶片调节，就必须加大间隙，由调节要求确定。

3. 喷嘴数 $ Z_N $ 在固定叶片中可按下图选取，这里选取 $ Z_N = 23 $。

   

4. 喷嘴喉部宽度

   $$ b_N \approx \tau_N t_N \sin {\alpha_1’} = \frac {\pi D_N} {Z_N} \tau_N \sin {\alpha_1’} = 1.9186 mm $$

5. 喷嘴叶片高度

   $$ l_N = \frac {q_m} {\rho^\ast c^\ast b_N Z_N} = 2.0656 mm $$

6. 工作轮进口叶片高度 $$ l_1 = l_N + \Delta l = 3.7656 mm $$，这里取过盖度 $ \frac {\Delta l} {\Delta_1} = 1.7 $（一般约为 $ 1.7 \sim 1.9 $ )，$ \Delta l = 1.7 \Delta_1 = 1.7 mm $，因此 $ \frac {l_1} {D_1} = 0.075313 $，较大于原估取值，这里不再重新计算。

7. 工作轮出口平均直径 $$ D_{2m} = \mu D_1 = 24.900 mm $$

8. 工作轮出口截面积（本题未考虑内部损失对 $ \rho_2 $ 的影响）

   $$ A_2 = \frac {q_m} {w_2 \sin {\beta_2} \rho_2 \tau_2} = 0.00074753 m^2 $$

9. 工作轮出口内径

   $$ D_2’’ = \sqrt{D_{2m}^2 - \frac {2 A_2} {\pi}} = 12.005 mm $$

10. 轮毂比 $$ k_r = \frac {D_2’’} {D_1} = 0.24010 $$ 与原取值相差不多，一般 $ k_r = 0.2 \sim 0.3 $

11. 工作轮出口外径

    $$ D_2’ = \sqrt{D_{2m}^2 + \frac {2 A_2} {\pi}} = 33.104 mm $$

12. 出口叶片高度 $$ l_2 = \frac {D_2’ - D_2’’} {2} = 10.550 mm $$

13. 进出口叶片平均高度 $$ l_m = \frac {l_1 + l_2} {2} = 7.1577 mm $$

14. 轴向间隙比 $$ \frac {\delta} {l_m} = 0.013971 $$ 与原取值相差不多，这里取轴向间隙 $ \delta = 0.1 mm $

15. 工作轮子午面扩散角

    $$ \theta = \arctan {\frac {2 (l_2 - l_1)} {D_1 - D_{2m}}} = 28.394 ^\circ $$

内部损失计算#

1. 轮背摩擦损失

   1. 由 $ T_1, p_1 $ 可查得空气的动力粘度 $$ \eta_1 = 0.0000077599 Pa \cdot s $$

   2. 运动粘度 $$ \nu_1 = \frac {\eta_1} {\rho_1} = 9.3812 \times 10^{-7} m^2/s $$

   3. 以喷嘴出口参数定型的雷诺数 $$ Re = \frac {u_1 D_1} {\nu_1} = 1.0419 \times 10^7 $$

   4. 轮背摩擦系数 $$ \zeta_f = \frac {12.87} {10^3} \frac {1} {\sqrt[5]{Re}} = 0.00050818 $$ 此值与原估取值相差不多。

   5. 轮背摩擦功率 $$ P_B = K \zeta_f \rho_1 u_1^3 D_1^2 = 313.98 W $$ 这里对半开式工作轮取 $ K = 4 $

   6. 单位轮背摩擦损失 $$ q_B = \frac {P_B} {q_m} = 2.0819 kJ/kg $$

   7. 相对轮背摩擦损失 $$ \xi_B = \frac {q_B} {h_s’} = 0.047466 $$

2. 内泄漏损失

   $$ \xi_l = 1.3 \frac {\delta} {l_m} (\eta_u - \xi_B) = 0.017966 $$

   $$ q_l = \xi_l h_s’ = 0.788 kJ/kg $$

3. 按通流部分焓降计算的等熵效率

   $$ \eta_s’ = 1 - (\xi_N + \xi_r + \xi_K + \xi_l) = 0.84244 $$

4. 进入扩压器时气体的比焓

   $$ i_2’ = i_4 = i_2 + q_B + q_l = 87.772 kJ/kg $$

5. 进入扩压器时气体由 $ p_3, i_2’ $ 可查得 $$ T_2’ = T_4 = 90.111 K $$

扩压器中的流动#

1. 扩压后气体流速

   $$ c_3’ = \sqrt {c_2^2 - \frac {2 \kappa} {\kappa - 1} Z_2’ R_g T_2’ \left [(\frac {p_2} {p_3}) ^ {\frac {n - 1} {n}} - 1 \right ] } = 7.9419 m/s $$

   符合一般的要求范围 $ c_s’ = 5 \sim 10 m/s $，这里估取 $ \eta_K = 0.61 $

   因此

   $$ \frac {n - 1} {n} = \frac {1} {\eta \kappa} \frac {\kappa - 1} {\kappa} = 0.46838 , n = 1.8811 $$

2. 扩压器出口气体密度 $$ \rho_3’ = \rho_5 = (\frac {p_2} {p_3})^{\frac {1} {n}} \rho_2 = 4.6243 kg/m^3 $$

3. 扩压器出口温度 $$ T_3’ = T_5 = (\frac {p_2} {p_3}) ^ {\frac {n - 1} {n}} T_2’ = 91.782 K $$

4. 由 $ p_2, T_3’ $ 从 i-s 图可得扩压器出口实际比焓 $ i_3’ = i_5 = 89.484 kJ/kg $

5. 扩压器进口气体密度 $$ \rho_2’ = \frac {p_3} {Z_2’ R_g T_2’} = 4.2334 kg/m^3 $$

6. 扩压器出口比焓校核 $$ i_5 = i_2 + q_B + q_K + q_l = 89.425 kJ/kg $$

7. 扩压器进口直径

   为了使从工作轮排出的气流平滑过渡到扩压器，一般使扩压器进口直径等于工作轮出口外径，即 $$ D_K = D_2’ = 33.104 mm $$

8. 导流螺帽直径

   为了使工作轮排出的气流不至于突然减速，一般都在工作轮端加装导流螺帽，其直径等于工作轮出口内经，即 $$ d = D_2’’ = 12.005 mm $$

9. 扩压器出口直径 $$ D_3 = \sqrt {\frac {4 q_m} {\pi c_3’ \sin {\alpha_2} \rho_3’}} = 72.317 mm $$

10. 扩压器长度 $$ L = \frac {D_3 - D_K} {2 \tan {\alpha_K}} = 139.51 mm $$

蜗壳型线的确定#

// TODO

1. 采用等宽度 $ B $ 的矩形截面 $$ R’ = R_0’ \exp {\frac {\theta q_m} {2 \pi \rho_0 K B}} $$ 已知 $ R_0’ = mm, q_m = kg/s, \rho_0 = kg/m^3 $

2. 取 $ b_0 = l_N / 0.12 = mm, a = mm $

3. 取进口气流速度 $ c_0 = m/s $ 则进口截面积 $$ A_0 = \frac {q_0} {c_0 \rho_0} = m^3 $$

4. 进口处外轮廓线半径 $$ R’ = R_0’ + \frac {A_0} {b_0} $$

5. 由此可求得常数 $$ K = \frac {\theta q_m} {2 \pi \rho_0 b_0 \ln {\frac {R’} {R_0’}}} = $$

6. 计算蜗壳外轮廓线坐标如下表 TODO，其图形如图 TODO 所示。

   图中子午剖面型线图已把每个角度上的断面形状重叠在一个位置上，编号分别代表角度

效率、制冷量、功率和转速#

1. 等熵效率 $$ \eta_s = \frac {i_0 - i_5} {i_0 - i_{2s}} = 0.82125 $$

2. 制冷量 $$ Q_0 = \eta_s h_s q_m = 5.329 kW $$

3. 轴功率 $$ P_T = \eta_e h_s q_m = 5.116 kW $$

4. 转速 $$ n = \frac {60 u_1} {\pi D_1} = 74667 r/min $$

小结#

上述内容是基本计算过程，计算公式太多了，部分计算公式的计算顺序是倒序的。总之，种种原因导致，阅读上述计算公式，并不容易理解计算过程，下面我们来分析一下计算过程。

我们的目的是设计一个透平膨胀机，设计内容包括以下部分：透平膨胀机的进口蜗壳、喷嘴、工作轮、出口扩压器共 4 部分。已知条件是蜗壳进口处的温度、压力扩压器出口的压力，以及通过整套装置的流量。总而言之，这套装置的要求是整机的进出口状态，而并非工作轮进出口状态。

尽管蜗壳、喷嘴和扩压器都对空气参数有影响，但是我们也不得不首先设计工作轮，工作轮中的参数变化是最关键的一部分。由于这是个多变量最优化问题，实际问题中的变量更多，如果没有大量的实验，用实实在在的数据来证明的话，我们没法找到全局最优解。目前的想法是先设计工作轮，然后再调整其他部分来满足需要，认为工作轮的影响最显著，其他几个变量的影响较小，并且可调性较高。

喷嘴及工作轮的设计思路：首先我们需要忽略进口蜗壳的影响，然后假定扩压器中有 1.04 的扩压比，原本的 5 个关键截面减少到了 3 个，原来有蜗壳进口（即整机进口）、喷嘴进口、工作轮进口（即喷嘴出口）、工作轮出口（即扩压器进口），扩压器出口（即整机出口），现在减少为喷嘴进口、工作轮进口、工作轮出口并将其依次标为 $ 0, 1, 2 $ 截面。整机进口变为喷嘴进口，整机出口变为工作轮出口。

可以注意到，我们设计的扩压比很小，这么小的扩压比对压力的确没有什么影响。把扩压比设为 1 的话，影响也不大，理论上相当于不安装扩压器，实际上类似于直接在叶轮出口接了一个直管，而不是渐扩的管。有这么一个小小的扩压比，工作轮出口的压力会被渐扩流道形状影响，工作轮出口压力会低于设计压力，会略微提高叶轮中的压差。也是有用处

为什么要使用扩压器？如果不用扩压器的话，出口直接通过圆柱形管道排出气体会怎样？通常透平膨胀机出口的气流流速仍然很高，这样高流速的气流直接在管道中流动会导致很大的摩擦损失，从而导致冷量减少。

既然高速流动会导致摩擦损失，那喷嘴和工作轮中的流速比出口还高，这怎么办呢？工作轮中的部分很短，并且工作轮内的流动损失是不可避免的，膨胀机想做对外功多就要有高流速推动工作轮高速旋转，所以不能减少工作轮中的流速，只能控制在一个恰当的大小。

和使用高压线使用高电压、低电流减少发热功率的想法一样，气体在低压时流速大，高压时就会流速小。在质量流量一定的情况下，密度越大，体积流量就越小。扩压器就是将低压、低密度、高流速的气体变成较高压、较高密度、低流速的气体的部件，整个过程是将气体的动能转化为压力势能的过程。这里需要注意，如果不安装扩压器，工作轮出口直接就是出口压力，如果安装扩压器之后，扩压器出口是出口压力，工作轮出口的压力会低于出口压力。

扩压器一般为简单椎体，为避免扩压过程产生过大逆压梯度，导致壁面流动分离，扩压角不应超过 $ 6^\circ \sim 8^\circ $。

这个扩压比会直接对应一个关键的参数——扩压器效率，根据公式 $$ i_3’ - i_2’ = \frac 1 2 (c_{2’}^2 - c_{3’}^2) = \frac {\kappa} {\kappa - 1} Z_2 R T_{2’} \left [(\frac {p_2} {p_3})^{\frac {n_k - 1} {n_k}} \right ] $$ 式中 $$ \frac {n_k} {n_k - 1} = \eta_k {\kappa} {\kappa - 1} $$ $ \eta_K $ 为扩压器效率，一般 $ \eta_k = 0.6 \sim 0.7 $

根据上式可以看出，当进出口流速、比体积确定时，扩压器效率越高，扩压比越高，如果 // TODO

1. 喷嘴中的流动（0 截面 - 1 截面过程）

简化后 $ p_0, T_0 $ 为已知条件

首先我们认为

TODO

叶轮构型计算及三维建模#

喷嘴叶片型线的选定及叶片的配置#

1. 选用 TC-2P 型径向叶型

2. 选用相对跨距 $ l_N = 0.60 $，这时喷嘴叶片出口跨距 $$ t_N = \frac {\pi D_N} {Z_N} = 7.1027 mm $$ 弦长 $$ b = \frac {t_N} {l_N} = 11.838 mm $$

3. 根据 TC-2P 叶型的试验数据，当 $ l_N = 0.60 $ 时，为了保证出口角 $ \alpha_1’ = 16^\circ $，要求叶片安装角 $ \alpha_{1A} = 33^\circ $

   

4. 喷嘴叶片外径 $$ D_0 \approx 2 \sqrt {R_N^2 + (ab)^2 + 2 (ab) \sin {\alpha_{1A}} R_N} = 69.904 mm $$

5. 由所得的 $ b $ 值按所选叶型的相对坐标作出叶型图形，由所得叶型图及安装角 $ \alpha_{1A} $ 可以配置喷嘴叶片如下图所示。这时以叶尖出口点 A 为圆心，以计算所得的喷嘴喉部宽度 $ b_N $ 为半径，所做圆弧应与叶型图背弧线相切。否则应重新修正 $ l_N $ 值。

   

6. 考虑到从蜗壳到喷嘴叶片的过渡，取喷嘴环的直径 $ D_0’ = mm $

工作轮形状的确定#

1. 已知 $ D_1 = 50.000 mm, D_2’ = 33.104 mm, D_2’’ = 12.005 mm, l_1 = 2.9562 mm, \beta_1’ = 90^\circ, \beta_2’ = 30^\circ15’ $

2. 工作轮叶片数 $ Z_r = 14 $ 片

3. 叶片进口处厚度 $ \delta_1 = 0.01 D_1 = 0.5 mm $

4. 叶型部分轴向宽度 $ B_R = 0.3 D_1 = 15 mm $

5. 导向段出口叶片平均跨度 $$ t_{2m} = \frac {\pi (D_2’ + D_2’’)} {2 Z_r} = 5.0587 mm $$

6. 导向段轴向宽度 $ B_D = \frac {t_{2m}} {0.77} = 6.5697 mm $

7. 轮盘基线进口倾斜角 $ \theta_1 = 4.5 ^\circ $；进口段直线长度先估取为 $ 0.15 D_1 = 7.5 mm $，要看子午面型线变化而调整。

8. 出口轮毂段直线的倾斜角 $ \theta_2 = 0^\circ $；出口直线段长度取为 $ 0.5 B_D = 3.2849 mm $，要根据 $ R_B $ 调整。

9. 轮盘基线中部圆弧半径 $ R_B = 0.22 D_1 \approx 11 mm $

10. 工作轮叶片顶线圆弧半径 $ R_G’ = D_1 = 50 mm $；$ R_G’’ = 0.11 D_1 \approx 5.5 mm $

11. 按上述几何尺寸可作出工作轮轮盘子午面上的基线，此基线的回转面即为流场的基面。

12. 然后根据 $ l_1, l_2 $ 及流道的光滑过渡要求，用作图法最后确定 $ R_G’, R_G’’ $。

13. 以轴线为中心的等直径圆柱面上导流段的曲线可按二次抛物线方程 $ y = \frac {x^2} {2p} $ 确定，而

    $$ p = B_D \tan {\beta_2} = 6.5731 \tan {\beta_2} $$

    $$ \tan {\beta_2} = \frac {c_{2r}} {u_2 - c_{2u}} = \frac {c_2} {u_2} = \frac {57.494} {u_2} $$

    按 $ c_2 = 57.494$ 为不变值，$ u_2 $ 与半径 $ R_2 $ 成正比，$ u_{2m} = 97.35 $ 已知代入计算，可得到该抛物线的坐标如下表。

出口导流段的坐标

$ R_2 $	$ R_2’’ = 6 $	9	$ R_{2m} = 12.45 $	14.5	$ R_2’ = 16.55 $
$ u_2 $ (m/s)	46.91	70.37	97.35	113.38	129.41
$ \tan {\beta_2} $	1.23	0.82	0.59	0.51	0.44
$ \beta_2 $ ($ ^\circ $)	50.79	39.25	30.57	26.89	23.96
$ p $ (mm)	8.06	5.37	3.88	3.33	2.92
$ x = 0 $ 处的 $ y $ (mm)	0	0	0	0	0
$ x = 2 $ 处的 $ y $ (mm)	0.25	0.37	0.52	0.60	0.68
$ x = 4 $ 处的 $ y $ (mm)	0.99	1.49	2.06	2.40	2.74
$ x = 6 $ 处的 $ y $ (mm)	2.23	3.35	4.64	5.40	6.16
$ x = 6.57 $ 处的 $ y $ (mm)	2.68	4.02	5.56	6.48	7.40

下图给出了工作轮出口角 $ \beta_2 $ 与半径 $ R_2 $ 的关系。

下图给出了每一个 $ R_2 $ 的圆柱面上导流段曲线的坐标 x, y 曲线。

下图给出了最内与最外两个半径处的导流段曲线对比，每个半径处绘制出了相邻的两个曲线。

设计参数#

几何参数	单位	数值
工作轮直径	mm	50
轴向长度	mm	15
进口叶高	mm	3.0
进口安装角	deg	4.5
叶片数	/	14
叶片厚度	mm	0.5
轮毂直径	mm	12.0
出口外径	mm	33.1
导向段轴向宽度	mm	6.57

造型方法#

根据上述数据，通过 UG 建模如下。

首先绘制工作轮基体草图。绘制轴中心线、出口处轴半径线、轮背半径线、轮背进口倾斜角线，然后绘制出口处轴向段的线段，最后使用倒圆连接出口处轴向段和轮背进口倾斜角线。然后旋转一周形成基体。

然后绘制叶片外径型线草图。绘制轴流段直线段，绘制工作轮进口叶片高度线段，通过两个相切的圆连接两段线段，这个圆的位置有一个参数未知，是根据流道宽度近似变化通过作图法确定的。旋转出一个面备用。

然后导入前面列出的出口导流段特征点，通过样条曲线连接，将曲线投影到相应半径的旋转面上。然后新建通过曲线组。

使用通过曲线网格构建平直叶片的基面，使用加厚构建叶片，然后使用布尔运算相交将超出叶轮旋转区域的叶片移除掉，形成一个叶片。

最后使用旋转阵列形成完整的叶轮。

实验平台搭建和初步试验研究#

实验探究是研究流体流动机理、推动研究进展最基础最重要的手段，具有不可替代的作用，通过实验研究，可以确定所设计的透平膨胀机的实际性能，对理论和模拟结果进行进一步验证，也可了解透平膨胀机在实际运行过程中的降温过程以及可能出现的问题。本文针对所设计透平膨胀机搭建了一套实验平台，并在该实验平台上对膨胀机的性能进行初步试验研究。

本文的低温透平膨胀机的实验台系统主要包括三部分：气路系统，制冷系统和数据采集系统。本文所设计的两套实验系统的气路系统和数据测量与采集系统相似，制冷系统有所区别，下面将分别详细介绍。

气路系统#

气路系统包括压缩机、冷干机、再生分子筛、储气罐、空气过滤器、阀门、流量计、压力表等组成。它的主要作用有：

1. 为气体轴承提供约 $ 0.5MPa $ 的轴承气
2. 为膨胀机提供干燥洁净的空气

气路系统的稳定运行，为制冷系统提供稳定、干燥、洁净的空气对制冷系统的稳定运行有着巨大的影响，在本文的实验过程中就层出现由于气路系统故障导致透平进口空气带液，进而使制冷系统出现故障的情况，因此设计一套合理的气路系统，并在实验前确定膨胀机进口的空气状况是整套实验系统顺利运行的保障。

详细的气路系统流程图如上图所示，空气压缩机是气路系统的关键部件，本试验台采用阿特拉斯 GA75 型螺杆压缩机，可以提供最大 600 和最高压力 1.3 MPa 的洁净空气，压缩机运行的实时参数通过一台电脑显示和控制。本文的透平膨胀机设计工作最低温度达到 -180℃，最高转速达到 160000，这些都对透平进口空气的干燥度和洁净度提出了很高的要求，因此在压缩机进口安装空气过滤器，清除空气中的颗粒杂质，压缩机出口的空气依次进入冷干机、分子筛、清除空气中的水分，然后进入储气罐，起到缓冲高速来流的作用，储气罐出口加装精密过滤器，进一步净化空气，在气路系统末端安装压力表、阀门和流量计，控制轴承气的压力和进入膨胀机的气量。

压缩机系统#

制冷系统是本文实验台建设的关键部分，主要包括：透平膨胀机，保温冷箱，板翅换热器以及管路阀门等。

透平膨胀机是我们主要研究对象，也是整个制冷系统最核心的部件。透平膨胀机的整机实物如下图所示，主要部件包括蜗壳、喷嘴、工作轮和扩压器。

下图分别是实验中所使用的喷嘴和工作轮的实物图，喷嘴和工作轮是透平膨胀机的核心部件，其设计的优劣将决定整个膨胀机的性能。其中喷嘴设计了两种叶片，分别是直线圆弧叶片和叶型叶片，经过数值模拟和初步的实验比较，结果显示直线圆弧叶片的性能在本文所用的透平膨胀机中性能略优于叶型叶片。因此在最终实验中，我们选择直线圆弧叶片。工作轮我们设计了在低温领域普遍使用的半开反动式径-轴流式工作轮，工作轮进口叶片角 90°，出口叶片角 30°。（注意：实验所使用的喷嘴与设计的并不相同）

为了更加全面的分析所设计的透平膨胀机的性能，我们设计了两套制冷系统。两套制冷系统所用的透平膨胀机相同，区别在于一套不带回热器，透平进口空气直接通过换热器与液氮换热，实现快速降温，达到所需要的温区，然后再进入透平进行膨胀；另一套带回热器，透平进口空气通过回热器与透平出口空气换热，逐级降温。两套实验系统各有优劣，下面我们将逐一介绍。

下图是带回热器的制冷系统的流程图，膨胀机进口空气是通过一个板翅式回热器与膨胀机出口低温空气进行换热，回收冷量，逐渐降低膨胀机进口空气温度，如此循环往复，可以获得极低的膨胀机出口温度。回热器的效率和膨胀机的性能都会对最终所能达到的最低温度有重大影响，提高回热器效率可以提高制冷系统的性能，获得更低的降温温度。本文的回热器采用锯齿形翅片的板翅换热器，总体结构尺寸为：$ 1700 \times 200 \times 183 $ 。

冷箱采用真空多层绝热，内外夹层包裹防辐射屏，并抽真空，减少跑冷损失。

数据测量与采集系统#

本文的两套实验台的数据采集系统相似，主要测量的数据包括：透平流量、转速、透平进口空气温度压力、透平出口空气温度压力，对于带回热器的实验系统还需测量空气进回热器的进口温度压力和空气最终流出回热器时的温度压力。本实验系统中的温度和压力测量点主要在各主要部件的进、出口，主要的采集仪器介绍如下。

温度的测量#

本文实验中所有的温度都采用 PT100 标准铂电阻来测量，PT100 铂电阻具有抗振动、稳定性好、精度高、耐高压等优点，应用非常广泛，测量温度范围 -200℃ ~ 200℃ ，0℃ 阻值 100Ω，安装方式为贴片式，使用粘性铝箔将 PT100 直接贴在测温点的外围管壁上。

压力的测量#

本文实验中带回热器的实验台的压力采用压力表测量，精度一般，但安装简单，不用通电，尤其对于轴承气管路来说，采用压力表测量压力可以在电路故障时还能及时了解轴承气压力。不带回热器的实验台的压力采用日本生产的SMC压力传感器进行测量，实物如下图所示。SMC 压力传感器是用来测量探头与被测物体之间相对静态和动态位移的一种非接触式传感器，灵敏度高、测量范围宽、抗干扰能力强。

流量的测量#

本文实验测量流量选用 SMC 流量计，测量范围为 600 ~ 12000 ，测量精度为 ，工作压力小于 1 MPa，精确方便，安装在保温冷箱外透平进口管道上，通过阀门控制流量，流量计实时测量和显示流量，下图是安装在管路中的流量计实物图。

转速的测量#

本文透平膨胀机选用气体轴承来支撑其转动，因此轴心轨迹将很好的反映透平轴承的转动情况，在这里我们选用电涡流位移传感器来进行转速的测量，同时还能显示透平轴承的轴心轨迹。电涡流位移传感器是基于涡流效应的原理制成的非接触式位移传感器．该传感器由探头、加长电缆、前置器组成一套用来测量旋转机械轴的各种运行状态参数：如轴的径向振动、轴向位移、转速、偏心、差胀等，电涡流位移传感器实物图如下图所示。

初步试验研究#

利用上述搭建的的透平膨胀机性能研究实验系统，进行透平膨胀机在降温过程中以及低温下的实验性能的研究，主要的研究的内容有：透平膨胀机的降温曲线，透平膨胀机转速、流量与膨胀比的关系，并对实验曲线与数据进行了初步分析，对透平的性能有一个更加全面的认识。

降温曲线#

上图是透平进出口降温曲线，从图中我们可以看出，整个降温过程持续约 4 小时，最低温度降低到 -170 ℃ 时，温度趋于稳定。透平出口所能达到的最低温度受膨胀机效率和回热器效率的共同影响，但是其温度变化均匀稳定。实验初始时透平进口温度变化缓慢，而出口温度变化相对比较迅速，这主要是由于初始回热器处于常温状态，同时回热器体积较大，需要一段时间进行热容的释放，因此膨胀机进口温度变化较为缓慢，而膨胀机出口温度取决于进口温度、膨胀比、膨胀机效率，出口温度响应较快。实验初始时透平进出口温差较小，这主要是由于初始时进口绝对压力只有 0.3 MPa，远低于设计的压力，工质在透平膨胀机内得不到充分膨胀。随着进口压力不断提高，透平进出口温差逐渐增大，温度下降速度也有所提高，当进口绝对压力达到 0.7 MPa 时，保持压力不变，此时随着温度不断下降，由于空气低温低焓降的特性，温度下降速度开始变缓慢，直至最终趋于基本稳定。

膨胀机性能初步研究及分析#

下图给出了透平流量和转速随进口压力变化的关系，从图中可以看出，随着透平进口压力的不断上升，流量和转速都有很明显的提高，其中转速提高的趋势随着进口压力的上升变缓，透平进口压力从 0.6 MPa 增加到 0.7 MPa，转速仅从 123000 提高到 124500 ，基本趋于稳定，而流量提高的趋势随着进口压力的上升变陡，透平进口压力越高，流量提高的速度越快。（注意：实际转速与设计转速不同，工作轮和设计工作轮仍有较大差距）

结论与展望#

结论#

本文完成了给定的设计要求，利用透平膨胀机的一维设计理论，给出一套自动透平膨胀机的热力计算程序，最终得到了完整的设计参数。选取轮径比 $ \mu = 0.498 $，反动度 $ \rho = 0.49 $，特性比 $ \bar{u}_1 = 0.66 $，喷嘴出口叶片角 $ \alpha_1’ = 16^\circ $，工作轮进口叶片角 $ \beta_1’ = 90^\circ $，工作轮出口叶片角 $ \beta_2’ = 30^\circ15’ $ 的透平膨胀机，计算出工作轮直径为 50 mm，设计等熵效率为 0.82，设计制冷量为 5.33 kW，出口扩压器长度为 139.51 mm。

基于上述设计参数，对工作轮的子午面、叶片型线进行设计。设计工作轮的叶片数 $ Z_r = 14 $，轴向总宽度 $ B_R = 15 mm $，导向段轴向宽度 $ B_D = 6.57 mm $，出口外径 $ D_2’ = 33.10 mm $，出口内径 $ D_2’’ = 12.00 mm $，进口叶片高度 $ l_1 = 2.96 mm $。根据出口相对速度与圆周速度匹配，以二次曲线方式绘制了出口导流段的型线，并且通过三维建模软件给出工作轮最终的三维模型。

本文还搭建了一套高速透平膨胀机综合测试实验台，基于实验室部分已有实验台的基础，对以实验室现有条件为支撑的透平膨胀机进行初步实验研究。实验测定了整套透平膨胀机制冷系统的降温曲线，降温过程持续约 4 小时，最低温度降低到 -170℃，不能达到设计出口温度，经分析可能是因为回热器的性能不足，导致进口温度达不到给定进口温度。另外还进行了膨胀机性能初步研究及分析实验，实验中改变膨胀机进口处压力，测量平衡状态下的流量与转速。透平流量和转速均随进口压力的增加而增加，转速在 0.6 MPa 以上变化较小，几乎不再增加，而流量在实验工况范围内，呈逐渐增加趋势，没有显现出有上限的迹象。

展望#

本文针对小型高速透平膨胀机进行了设计以及实验研究，在此过程中得到了一些结论并积累了一些经验，此外，由于时间和能力有限，还有许多研究需要深入，其中主要有以下几个方面：

1. 可以对本文所设计研究的高速透平膨胀机叶轮进行数值优化分析，进一步提高其工作性能。

2. 对高速透平膨胀机进行更深入的试验研究，由于本次研究时间周期短，搭建实验台的过程中由于工程经验不足导致只取得了非常有限的实验数据，下一步可以进行详细的试验研究。

3. 虽然现在有高精度的数值模拟，但是在没有实验验证的前提下，数值计算的可信度并不高。数值计算中需要考虑主要因素，忽略其余部分次要因素，但实际情况下，可能在高速或者低温等非常规工况下，次要因素上升为主要因素。数值计算有至少一组解与已知实验相吻合，那么数值计算将具有说服力。自然科学是一门实验性科学，脱离了实际物质变化规律的理论是没有意义的。

   未来对于这类多变量、多中间因素的计算问题，可以尝试引入机器学习或深度学习，通过积累大量实验数据，深度学习可以通过隐藏层的方式来猜测结果与输入变量之间的多层公式、多层的中间变量，这应该是未来的一个研究方向。通过传统的计算公式，很多因素是无法考虑进去的，例如摩擦系数。可能我们假定的摩擦系数可能并不准确，但是通过深度学习的预测，任何可能的因素都会是中间因素，当结果与计算不符时，神经网络会调整这部分的系数（反馈），使其与结果尽量接近，最终我们可以提取每个节点的系数，与传统一维计算方法相比较，并对其进行修正。

致谢#

时光荏苒，岁月如梭，四年的本科生学习生活就要落下帷幕，我也即将告别美好而又难忘的学生生涯。回首这一路走来经历的点点滴滴，我收获了太多，成长了太多，也有太多的人值得我去感谢和铭记！

首先，我要向我的指导教师同时也是班主任 XXX 副教授表示最真挚的感谢，感谢他在教学知识上上给予我耐心的指导。同时，在此次毕业设计过程中我也学到了许多了关于透平膨胀机方面的知识，实验技能有了一定的提高。这项毕业设计任务让我可以接触到一个在大学的课堂上接触不到的领域，让我看到了我们所学专业在课堂外的另一面，也让我第一次推开了工程热物理学科实际应用的大门。

感谢 XXX 学长以及 XXX 等同学对我的无私帮助，使我得以顺利完成论文。再次感谢我的舍友，四年的时光有你们陪我走过！感谢 XXX、XXX、XXX、XXX 等同学在平时学习生活中给予我的帮助，本科学习生涯道路艰辛却充满美好的回忆！感谢我的辅导员 XXX 对我学习和工作的支持，愿我们继续前行，一起走以后的人生路！

最后，我要向我的母校表示感谢，向我的亲人表示感谢。感谢母校对我的培养，交大精神已深留我心。感谢我的父母多年来对我的养育之恩，感谢我的亲人对我的关心，你们的支持是我前行最大的动力。

感谢一直陪伴在我身边的人，谢谢你们！

感谢一直陪伴在我身边的每一个人，谢谢你们！谨以此致谢，路还长，唯勤勉能行!

参考文献#

1. 计光华. 透平膨胀机. 西安：西安交通大学. 2018
2. Turboexpander. https://en.wikipedia.org/wiki/Turboexpander . 2019.5.8
3. 赵红利, 侯予, 习兰, 等. 回冷式逆布雷顿空气制冷机的试验分析[J], 西安交通大学. 哈尔滨工业大学学报, 2009.5
4. 赵红利, 侯予, 陈汝刚, 等. -120℃小型逆布雷顿空气制冷机性能的试验研究[J]. 西安交通大学. 西安交通大学学报, 2007.8

附录#

计算程序#

• 热力计算过程

外文文献翻译#

• High Speed Cryogenic Turboexpander Rotor for stable operation up to 4.5 kHz Rotational Speed
• 高速低温透平膨胀机转子，稳定运行最高转速可达 4.5 kHz