热力计算与流道基本尺寸的确定

已知条件

工质（质量分数氮气/氩气/氧气 = 75.57/1.2691/23.16）
气体常数 $ R_g $ $ J / (kg \cdot K) $
等熵指数 $ \kappa $
相对分子质量 $ M_r $ $ g/mol $
膨胀气体量 $ q_V $ $ Nm^3/h $
膨胀气体量 $ q_m $ {{ q_m | round }} $ kg/s $
膨胀机进口温度 $ T_0 $ $ K $
膨胀机进口压力 $ p_0 $ $ MPa $
膨胀机出口压力 $ p_2 $ $ MPa $

估取及选用值

估取

喷嘴中的速度系数 $ \varphi $
工作轮中的速度系数 $ \psi $
工作轮叶高轮径比 $ l_1 / D_1 $
工作轮相对轴向间隙 $ \delta / l_m $
喷嘴出口减窄系数 $ \tau_N $
工作轮进口减窄系数 $ \tau_1 $
工作轮出口减窄系数 $ \tau_2 $

选定

喷嘴出口叶片角 $ \alpha_1' $ $ ^{\circ} $
工作轮进口叶片角 $ \beta_1' $ $ ^{\circ} $
工作轮出口叶片角 $ \beta_2' $ $ ^{\circ} $

选取

轮径比 $ \mu $
反动度 $ \rho $
特性比 $ \bar{u}_1 $

估取扩压比

扩压比 $ p_2 / p_3 $
工作轮出口压力 $ p_3 = $ {{ p_3 | round }} $ MPa $

膨胀机的热力性能及结构设计

喷嘴中的流动

由 $ p_0, T_0 $ 及 $ p_2, p_3 $ 从 i-s 图上可查得（以下比焓的参考点为 REFPROP 中的默认点）
- 进口比焓 $ i_0 = $ {{ i_0 | round }} $ J/kg $
- 膨胀机出口理想比焓 $ i_{2s} = $ {{ i_2s | round }} $ J/kg $
- 工作轮出口理想比焓 $ i_{2s}' = $ {{ i_2s_ | round }} $ J/kg $
- 膨胀机总的理想比焓降 $ h_s = i_0 - i_{2s} = $ {{ h_s | round }} $ J/kg $
- 通流部分理想比焓降 $ h_s' = i_0 - i_{2s}' = $ {{ h_s_ | round }} $ J/kg $
等焓理想速度 $ c_s = \sqrt{2 h_s'} = $ {{ c_s | round }} $ m/s $
由 $ p_0, T_0 $ 从 Z-p 图上查得 $ Z_0 = $ {{ Z_0 | round }}
喷嘴中等熵比焓降 $ h_{1s} = (1 - \rho) h_s' = $ {{ h_1s | round }} $ J/kg $
喷嘴出口实际速度 $ c_1 = \varphi \sqrt{2 h_{1s}} = $ {{ c_1 | round }} $ m/s $
喷嘴出口理想比焓 $ i_{1s} = i_0 - h_{1s} = $ {{ i_1s | round }} $ J/kg $
喷嘴出口实际比焓 $ i_{1} = i_0 - \phi^2 h_{1s} = $ {{ i_1 | round }} $ J/kg $
由 $ p_0, T_0 $ 及 $ i_{1s} $ 从 i-s 图可查得 $ p_1 = $ {{ p_1 | round }} $ Pa $
由 $ p_1, i_1 $ 从 i-s 图可查得 $ T_1 = $ {{ T_1 | round }} $ K $
由 $ p_1, T_1 $ 从 Z-p 图可查得 $ Z_1 = $ {{ Z_1 | round }}
喷嘴出口气体密度 $ \rho_1 = \frac {p_1} {Z_1 R_g T_1} = $ {{ rho_1 | round }} $ kg/m^3 $
多变指数 $ n = \frac {\kappa} {\kappa - \varphi (\kappa - 1)} = $ {{ n | round }}
喷嘴出口喉部界面速度 $ c^\ast = \sqrt {2 Z_0 R_g T_0 \frac {\kappa} {\kappa - 1} \frac {n - 1} {n + 1}} = $ {{ c_ast | round }} $ m/s $
由于 $ c_1 > c^\ast $，采用收缩喷嘴时，气流在斜切口有偏转角， $ \frac {\sin (\alpha_1' + \delta)} {\sin (\alpha_1')} = \frac {(\frac{2}{n + 1}) ^ {\frac {1} {n - 1}} \sqrt {\frac {n - 1} {n + 1}}} {(\frac {p_1} {p_0}) ^ {\frac {1} {n}} \sqrt{1 -(\frac {p_1} {p_0}) ^ {\frac {n - 1} {n}}}} = $ {{ sin_alpha_1__delta_sin_alpha_1_ | round }}
$ \sin (\alpha_1' + \delta) = $ {{ sin_alpha_1__delta_sin_alpha_1_ | round }} $ \sin (\alpha_1') = $ {{ sin_alpha_1__delta | round }} $ \delta = $ {{ delta | round }} $ ^{\circ} = $ {{ delta | deg_to_minute | round }} $ ' $
$ \alpha_1 = \alpha_1' + \delta = $ {{ alpha_1 | rad_to_deg | round }} $ ^{\circ} $
$ \delta = $ {{ delta | rad_to_deg | round }} $ ^{\circ} $
一般希望 $ \delta < 2^{\circ} \sim 3^{\circ} $
喷嘴出口状态下的声速 $ c_1' = \sqrt{n Z_1 R T_1} = $ {{ c_1_ | round }} $ m/s $
比较第 5、13、15 三项可知 $ c_1 > c_1' > c^\ast $ 说明在喷嘴喉部截面之前已经达到声速
喷嘴出口绝对速度马赫数 $ {Ma}_{c1} = \frac {c_1} {c_1'} = $ {{ Ma_c1 | round }}
一般在 $ {Ma}_{c1} < 1.1 \sim 1.2 $ 时仍可采用收缩喷嘴
喷嘴中的能量损失 $ q_N = (1 - \varphi ^ 2) h_{1s} = $ {{ q_N | round }} $ J/kg $
喷嘴中的相对能量损失 $ \xi_N = \frac {q_N} {h_s'} = $ {{ xi_N | round }}
喉部气体密度 $ \rho^\ast = \frac {2} {n + 1} ^ \frac {1} {n - 1} \rho_0 = \frac {2} {n + 1} ^ \frac {1} {n - 1} \frac {p_0} {Z_0 R_g T_0} = $ {{ rho_ast | round }} $ kg/m^3 $

工作轮中的流动

轮周速度 $ u_1 = \bar{u}_1 c_s = $ {{ u_1 | round }} $ m/s $
出口圆周速度 $ u_{2m} = \mu u_1' = $ {{ u_2m | round }} $ m/s $
工作轮进口气流角
$ \tan {\beta_1} = \frac {\sin {\alpha_1}} {\cos {\alpha_1} - \frac {u_1} {c_1}} = $ {{ tan_beta_1 | round }}
$ \beta_1 = 180 ^{\circ} + $ {{ beta_1_raw | rad_to_deg | round }} $ ^{\circ} = $ {{ beta_1 | rad_to_deg | round }} $ ^{\circ} $
进工作轮相对速度 $ w_1 = \frac {c_1 \sin {\alpha_1}} {\sin {\beta_1}} = $ {{ w_1 | round }} $ m/s $
进工作轮相对速度的圆周分速度 $ w_{1u} = c_1 \cos{\alpha_1} - u_1 = $ {{ w_1u | round }} $ m/s $
进工作轮相对速度的径向分速度 $ w_{1r} = c_1 \sin{\beta_1} = $ {{ w_1r | round }} $ m/s $
进工作轮处相对速度的马赫数 $ {Ma}_{w_1} = \frac {w_1} {c_1'} = $ {{ Ma_w_1 | round }}，一般希望 $ {Ma}_{w_1} < 0.5 $，以免过大的进口损失。
工作轮进口冲击损失 $ q_{w_{1u}} = \frac {w_{1u}^2} {2} = $ {{ q_w_u1 | round }} $ J/kg $，可忽略不计。
工作轮进口比焓 $ i_1' = i_1 + q_{w_{1u}} = $ {{ i_1_ | round }} $ J/kg $，由于冲击损失很像，工作轮进口状态可以认为与喷嘴出口状态相同。
由 $ p_1, i_1 $ 及 $ p_3 $ 从 i-s 图可查得工作轮出口等熵比焓 $ i_{2s}'' = $ {{ i_2s__ | round }} $ J/kg $
工作轮等熵比焓降 $ h_{2s} = i_1 - i_{2s}'' = $ {{ h_2s | round }} $ J/kg $
不考虑内部损失时，工作轮出口理想相对速度 $ w_{2s} = \sqrt {2 h_{2s} + w_{1 \tau}^2 + u_{2m}^2 - u_1^2} = $ {{ w_2s | round }} $ m/s $
实际相对速度 $ w_2 = \psi w_{2s} = $ {{ w_2 | round }} $ m/s $
工作轮中的能量损失 $ q_r = \frac{1}{2} (w_{2s}^2 - w_2^2) = $ {{ q_r | round }} $ J/kg $
$ \xi_r = \frac {q_r} {h_s'} = $ {{ xi_r | round }}
工作轮出口实际比焓 $ i_2 = i_{2s}'' + q_r = $ {{ i_2 | round }} $ J/kg $
由 $ p_2, i_2 $ 从 i-s 图可查得，工作轮出口实际温度 $ T_2 = $ {{ T_2 | round }} $ K $
由 $ p_3、T_2 $ 从 Z-p 图中可查得 $ Z_2 = $ {{ Z_2 | round }} $ $
工作轮出口实际气体密度 $ \rho_2 = \frac {p_3} {Z_2 R_g T_2} = $ {{ rho_2 | round }} $ kg/m^3 $
工作轮出口气流的绝对速度方向 $ \tan {\alpha_2} = \frac {\sin {\beta_2}} {\cos {\beta_2} - \frac {u_2} {w_2}} = $ {{ tan_alpha_2 | round }}
$ \alpha_2 = $ {{ alpha_2 | rad_to_deg | round }} $ ^{\circ} $
工作轮出口气流绝对速度 $ c_2 = \frac{w_2 \sin {\beta_2}} {\sin {\alpha_2}} = $ {{ c_2 | round }} $ m/s $
余速损失 $ q_K = \frac {c_2^2} {2} = $ {{ q_K | round }} $ J/kg $, $ \xi_K = \frac {q_K} {h_s'} = $ {{ xi_K | round }}
流道效率 $ \eta_u = 1 - \xi_N - \xi_r - \xi_K = $ {{ eta_u | round }}

喷嘴与工作轮基本尺寸的确定

工作轮直径 $ D_1 = \sqrt {\frac {q_m} {\pi (\frac {l_1} {D_1}) w_1 \sin {\beta_1} \rho_1 \tau_1}} = $ {{ D_1_raw | round }} $ m $
圆整后取 $ D_1 = $ {{ D_1 | m_to_mm | round }} $ mm $ 这时 $ \frac {l_1} {D_1} = \frac {q_m} {\pi D_1^2 w_1 \sin {\beta_1} \rho_1 \tau_1} = $ {{ l_1_D_1_round | round }}
喷嘴出口直径 $ D_N = D_1 + 2 \Delta_1 = mm $，这里按固定叶片设计，因此取喷嘴与工作轮之间的径向间隙较小。如果采用转动喷嘴叶片调节，就必须加大间隙，由调节要求确定。
喷嘴数 $ Z_N $ 在固定叶片中可按图 4-13 选取，这里选取 $ Z_N = $ {{ Z_N }}；如果采用大叶片，则可在 $ 8 \sim 12 $ 之间选用
喷嘴喉部宽度
$ b_N \approx \tau_N t_N \sin {\alpha_1'} = \frac {\pi D_N} {Z_N} \tau_N \sin {\alpha_1'} = $ {{ b_N | m_to_mm | round }} $ mm $
喷嘴叶片高度
$ l_N = \frac {q_m} {\rho^\ast c^\ast b_N Z_N} = $ {{ l_N | m_to_mm | round }} $ mm $
工作轮进口叶片高度 $ l_1 = l_N + \Delta l = mm $ {{ l_1 | m_to_mm | round }} $ $，这里取过盖度 $ \frac {\Delta l} {\Delta_1} = 1.7 $（一般约为 $ 1.7 \sim 1.9 $ )，$ \Delta l = 1.7 \Delta_1 = mm $，因此 $ \frac {l_1} {D_1} = $ {{ l_1_D_1_calculated | round }}，较大于原估取值，这里不再重新计算。
工作轮出口平均直径 $ D_{2m} = \mu D_1 = $ {{ D_2m | m_to_mm | round }} $ mm $
工作轮出口截面积（本体未考虑内部损失对 $ \rho_2 $ 的影响）
$ A_2 = \frac {q_m} {w_2 \sin {\beta_2} \rho_2 \tau_2} = $ {{ A_2 | round }} $ m^2 $
工作轮出口内径
$ D_2'' = \sqrt{D_{2m}^2 - \frac {2 A_2} {\pi}} = $ {{ D_2__ | m_to_mm | round }} $ mm $
轮毂比 $ k_r = \frac {D_2''} {D_1} = $ {{ k_r | round }}，与原取值相差不多，一般 $ k_r = 0.2 \sim 0.3 $
工作轮出口外径
$ D_2' = \sqrt{D_{2m}^2 + \frac {2 A_2} {\pi}} = $ {{ D_2_ | m_to_mm | round }} $ mm $
出口叶片高度 $ l_2 = \frac {D_2' - D_2''} {2} = $ {{ l_2 | m_to_mm | round }} $ mm $
进出口叶片平均高度 $ l_m = \frac {l_1 + l_2} {2} = $ {{ l_m | m_to_mm | round }} $ mm $
轴向间隙比 $ \frac {\delta} {l_m} = $ {{ delta_l_m | round }}，与原取值相差不多，这里取轴向间隙 $ \delta = 0.4 mm $
工作轮子午面扩散角
$ \theta = \arctan {\frac {2 (l_2 - l_1)} {D_1 - D_{2m}}} = $ {{ theta | rad_to_deg | round }} $ ^\circ $

内部损失计算

轮背摩擦损失
1. 由 $ T_1, p_1 $ 可查得空气的动力粘度 $ \eta_1 = $ {{ eta_1 | round }} $ Pa \cdot s $
2. 运动粘度 $ \nu_1 = \frac {\eta_1} {\rho_1} = $ {{ nu_1 | round }} $ m^2/s $
3. 以喷嘴出口参数定型的雷诺数
  $ Re = \frac {u_1 D_1} {\nu_1} = $ {{ Re | round }} $ $
4. 轮背摩擦系数
  $ \zeta_f = \frac {12.87} {10^3} \frac {1} {\sqrt[5]{Re}} = $ {{ zeta_f | round }}
  此值与原估取值相差不多。
5. 轮背摩擦功率
  $ P_B = K \zeta_f \rho_1 u_1^3 D_1^2 = $ {{ P_B | round }} $ W $
  这里对半开式工作轮取 $ K = 4 $
6. 单位轮背摩擦损失 $ q_B = \frac {P_B} {q_m} = $ {{ q_B | round }} $ J/kg $
7. 相对轮背摩擦损失 $ \xi_B = \frac {q_B} {h_s'} = $ {{ xi_B | round }}
内泄漏损失
$ \xi_l = 1.3 \frac {\delta} {l_m} (\eta_u - \xi_B) = $ {{ xi_l | round }}
$ q_l = \xi_l h_s' = $ {{ q_l | round }} $ J/kg $
按通流部分焓降计算的等熵效率
$ \eta_s' = 1 - (\xi_N + \xi_r + \xi_K + \xi_l) = $ {{ eta_s_ | round }}
进入扩压器时气体的比焓
$ i_2' = i_4 = i_2 + q_B + q_l = $ {{ i_2_ | round }} $ J/kg $
进入扩压器时气体由 $ p_3, i_2' $ 可查得 $ T_2' = T_4 = $ {{ T_2_ | round }} $ K $

扩压器中的流动

扩压后气体流速
$ c_3' = \sqrt {c_2^2 - \frac {2 \kappa} {\kappa - 1} Z_2' R_g T_2' \left [(\frac {p_2} {p_3}) ^ {\frac {n - 1} {n}} - 1 \right ] } = $ {{ c_3_ | round }} $ m/s $
符合一般的要求范围 $ c_s' = 5 \sim 10 m/s $，这里估取 $ \eta_K = $ {{ eta_K | round }}
因此
$ \frac {n - 1} {n} = \frac {1} {\eta_K} \frac {\kappa - 1} {\kappa} = $ {{ n_1_n | round }} $ , n = $ {{ n_ | round }}
扩压器出口气体密度
$ \rho_3' = \rho_5 = (\frac {p_2} {p_3})^{\frac {1} {n}} \rho_2 = $ {{ rho_3_ | round }} $ kg/m^3 $
扩压器出口温度
$ T_3' = T_5 = (\frac {p_2} {p_3}) ^ {\frac {n - 1} {n}} T_2' = $ {{ T_3_ | round }} $ K $
由 $ p_2, T_3' $ 从 i-s 图可得扩压器出口实际比焓 $ i_3' = i_5 = $ {{ i_3_ | round }} $ J/kg $
扩压器进口气体密度
$ \rho_2' = \frac {p_3} {Z_2' R_g T_2'} = $ {{ rho_2_ | round }} $ kg/m^3 $
扩压器出口比焓校核
$ i_5 = i_2 + q_B + q_K + q_l = $ {{ i_5_verify | round }} $ J/kg $
扩压器进口直径
为了使从工作轮排出的气流平滑过渡到扩压器，一般使扩压器进口直径等于工作轮出口外径，即
$ D_K = D_2' = $ {{ D_K | m_to_mm | round }} $ mm $
导流螺帽直径
为了使工作轮排出的气流不至于突然减速，一般都在工作轮端加装导流螺帽，其直径等于工作轮出口内经，即
$ d = D_2'' = $ {{ d | m_to_mm | round }} $ mm $
扩压器出口直径
$ D_3 = \sqrt {\frac {4 q_m} {\pi c_3' \sin {\alpha_2} \rho_3'}} = $ {{ D_3 | m_to_mm | round }} $ mm $
扩压器长度
$ L = \frac {D_3 - D_K} {2 \tan {\alpha_K}} = $ {{ L | m_to_mm | round }} $ mm $

效率、制冷量、功率和转速

等熵效率
$ \eta_s = \frac {i_0 - i_5} {i_0 - i_{2s}} = $ {{ eta_s | round }}
制冷量
$ Q_0 = \eta_s h_s q_m = $ {{ Q_0 | round }} $ W $
轴功率
$ P_T = \eta_e h_s q_m = $ {{ P_T | round }} $ W $
转速
$ n = \frac {60 u_1} {\pi D_1} = $ {{ n_rotation | round }} $ r/min $ 上述计算所得的速度三角形及 i-s 图见图 TODO 与图 TODO，计算结果列与表 TODO 中的第 TODO 栏数据中。可以看出，表中后三栏的数据基本上是一致的，但是由于采用了扩压器，透平膨胀机实际的等熵效率提高了。

流道几何形状的确定

喷嘴叶片型线的选定及叶片的配置

选用 TC-2P 型径向叶型
选用相对跨距 $ l_N = 0.60 $，这时喷嘴叶片出口跨距
$ t_N = \frac {\pi D_N} {Z_N} = $ {{ t_N | m_to_mm | round }} $ mm $$ 弦长 $$ b = \frac {t_N} {l_N} = $ {{ b | m_to_mm | round }} $ mm $
根据 TC-2P 叶型的试验数据，当 $ l_N = 0.60 $ 时，为了保证出口角 $ \alpha_1' = 16^\circ $，要求叶片安装角 $ \alpha_{1A} = 33^\circ $
喷嘴叶片外径
$ D_0 \approx 2 \sqrt {R_N^2 + (ab)^2 + 2 a b \sin {\alpha_{1A}} R_N} = $ {{ D_0 | m_to_mm | round }} $ mm $
由所得的 $ b $ 值按所选叶型的相对坐标作出叶型图形，由所得叶型图及安装角 $ \alpha_{1A} $ 可以配置喷嘴叶片如图 TODO 所示。这时以叶尖出口点 A 为圆心，以计算所得的喷嘴喉部宽度 $ b_N $为半径，所做圆弧应与叶型图背弧线相切。否则应重新修正 $ l_N $ 值。

工作轮形状的确定

已知 $ D_1 = $ {{ D_1 | m_to_mm | round }} $ mm, D_2' = $ {{ D_2_ | m_to_mm | round }} $ mm, D_2'' = $ {{ D_2__ | m_to_mm | round }} $ mm, l_1 = $ {{ l_1 | m_to_mm | round }} $ mm, \beta_1' = $ {{ beta_1_ | rad_to_deg | round }} $ ^\circ, \beta_2' = $ {{ beta_2_ | rad_to_deg | round }} $ ^\circ $
工作轮叶片数 $ Z_r = $ {{ Z_r }} 片
叶片进口处厚度 $ \delta_1 = 0.01 D_1 = $ {{ delta_1 | m_to_mm | round }} $ mm $
叶型部分轴向宽度 $ B_r = 0.3 D_1 = $ {{ B_r | m_to_mm | round }} $ mm $
导向段出口叶片平均跨度 $ t_{2m} = \frac {\pi (D_2' + D_2'')} {2 Z_r} = $ {{ t_2m | m_to_mm | round }} $ mm $
导向段轴向宽度 $ B_D = \frac {t_{2m}} {0.77} = $ {{ B_D | m_to_mm | round }} $ mm $
轮盘基线进口倾斜角 $ \theta_1 = $ {{ theta_1 | rad_to_deg | round }} $ ^\circ $；进口段直线长度先估取为 $ 0.15 D_1 = $ {{ l_in | m_to_mm | round }} $ mm $，要看子午面型线变化而调整。
出口轮毂段直线的倾斜角 $ \theta_2 = 0^\circ $；出口直线段长度取为 $ 0.5 B_D = $ {{ l_out | m_to_mm | round }} $ mm $，要根据 $ R_B $ 调整。
轮盘基线中部圆弧半径 $ R_B = 0.22 D_1 \approx $ {{ R_B | m_to_mm | round }} $ mm $
工作轮叶片顶线圆弧半径 $ R_G' = D_1 = $ {{ R_G_ | m_to_mm | round }} $ mm $；$ R_G'' = 0.11 D_1 \approx $ {{ R_G__ | m_to_mm | round }} $ mm $
按上述几何尺寸可作出工作轮轮盘子午面上的基线，此基线的回转面即为流场的基面。
然后根据 $ l_1, l_2 $ 及流道的光滑过渡要求，用作图法最后确定 $ R_G', R_G'' $ 参见图 TODO。
以轴线为中心的等直径圆柱面上导流段的曲线可按二次抛物线方程 $ y = \frac {x^2} {2p} $ 确定，而
$ p = B_D \tan {\beta_2} = $ {{ B_D | m_to_mm | round }} $ \tan {\beta_2} $
$ \tan {\beta_2} = \frac {c_{2r}} {u_2 - c_{2u}} = \frac {c_2} {u_2} = $ {{ c_2 | round }} $ / u_2 $
按 $ c_2 $ 为不变值代入计算，可得到该抛物线的坐标如表 TODO。
图 TODO 给出了工作轮出口角 $ \beta_2 $ 与半径 $ R_2 $ 的关系。图 TODO 给出了每一个 $ R_2 $ 的圆柱面上导流段曲线的坐标 x, y 曲线。