热力计算与流道基本尺寸的确定

已知条件

• 工质 （质量分数 氮气/氩气/氧气 = 75.57/1.2691/23.16）
• 气体常数 $R_g$ $J / (kg \cdot K)$
• 等熵指数 $\kappa$
• 相对分子质量 $M_r$ $g/mol$
• 膨胀气体量 $q_V$ $Nm^3/h$
• 膨胀气体量 $q_m$ {{ q_m | round }} $kg/s$
• 膨胀机进口温度 $T_0$ $K$
• 膨胀机进口压力 $p_0$ $MPa$
• 膨胀机出口压力 $p_2$ $MPa$

估取及选用值

估取

• 喷嘴中的速度系数 $\varphi$
• 工作轮中的速度系数 $\psi$
• 工作轮叶高轮径比 $l_1 / D_1$
• 工作轮相对轴向间隙 $\delta / l_m$
• 喷嘴出口减窄系数 $\tau_N$
• 工作轮进口减窄系数 $\tau_1$
• 工作轮出口减窄系数 $\tau_2$

选定

• 喷嘴出口叶片角 $\alpha_1'$ $^{\circ}$
• 工作轮进口叶片角 $\beta_1'$ $^{\circ}$
• 工作轮出口叶片角 $\beta_2'$ $^{\circ}$

选取

• 轮径比 $\mu$
• 反动度 $\rho$
• 特性比 $\bar{u}_1$

估取扩压比

• 扩压比 $p_2 / p_3$
• 工作轮出口压力 $p_3 =$ {{ p_3 | round }} $MPa$

膨胀机的热力性能及结构设计

喷嘴中的流动

1. 由 $p_0, T_0$ 及 $p_2, p_3$ 从 i-s 图上可查得（以下比焓的参考点为 REFPROP 中的默认点）
   • 进口比焓 $i_0 =$ {{ i_0 | round }} $J/kg$
   • 膨胀机出口理想比焓 $i_{2s} =$ {{ i_2s | round }} $J/kg$
   • 工作轮出口理想比焓 $i_{2s}' =$ {{ i_2s_ | round }} $J/kg$
   • 膨胀机总的理想比焓降 $h_s = i_0 - i_{2s} =$ {{ h_s | round }} $J/kg$
   • 通流部分理想比焓降 $h_s' = i_0 - i_{2s}' =$ {{ h_s_ | round }} $J/kg$
2. 等焓理想速度 $c_s = \sqrt{2 h_s'} =$ {{ c_s | round }} $m/s$
3. 由 $p_0, T_0$ 从 Z-p 图上查得 $Z_0 =$ {{ Z_0 | round }}
4. 喷嘴中等熵比焓降 $h_{1s} = (1 - \rho) h_s' =$ {{ h_1s | round }} $J/kg$
5. 喷嘴出口实际速度 $c_1 = \varphi \sqrt{2 h_{1s}} =$ {{ c_1 | round }} $m/s$
6. 喷嘴出口理想比焓 $i_{1s} = i_0 - h_{1s} =$ {{ i_1s | round }} $J/kg$
7. 喷嘴出口实际比焓 $i_{1} = i_0 - \phi^2 h_{1s} =$ {{ i_1 | round }} $J/kg$
8. 由 $p_0, T_0$ 及 $i_{1s}$ 从 i-s 图可查得 $p_1 =$ {{ p_1 | round }} $Pa$
9. 由 $p_1, i_1$ 从 i-s 图可查得 $T_1 =$ {{ T_1 | round }} $K$
10. 由 $p_1, T_1$ 从 Z-p 图可查得 $Z_1 =$ {{ Z_1 | round }}
11. 喷嘴出口气体密度 $\rho_1 = \frac {p_1} {Z_1 R_g T_1} =$ {{ rho_1 | round }} $kg/m^3$
12. 多变指数 $n = \frac {\kappa} {\kappa - \varphi (\kappa - 1)} =$ {{ n | round }}
13. 喷嘴出口喉部界面速度 $c^\ast = \sqrt {2 Z_0 R_g T_0 \frac {\kappa} {\kappa - 1} \frac {n - 1} {n + 1}} =$ {{ c_ast | round }} $m/s$
14. 由于 $c_1 > c^\ast$，采用收缩喷嘴时，气流在斜切口有偏转角， $\frac {\sin (\alpha_1' + \delta)} {\sin (\alpha_1')} = \frac {(\frac{2}{n + 1}) ^ {\frac {1} {n - 1}} \sqrt {\frac {n - 1} {n + 1}}} {(\frac {p_1} {p_0}) ^ {\frac {1} {n}} \sqrt{1 -(\frac {p_1} {p_0}) ^ {\frac {n - 1} {n}}}} =$ {{ sin_alpha_1__delta_sin_alpha_1_ | round }}
    $\sin (\alpha_1' + \delta) =$ {{ sin_alpha_1__delta_sin_alpha_1_ | round }} $\sin (\alpha_1') =$ {{ sin_alpha_1__delta | round }} $\delta =$ {{ delta | round }} $^{\circ} =$ {{ delta | deg_to_minute | round }} $'$
    $\alpha_1 = \alpha_1' + \delta =$ {{ alpha_1 | rad_to_deg | round }} $^{\circ}$
    $\delta =$ {{ delta | rad_to_deg | round }} $^{\circ}$
    一般希望 $\delta < 2^{\circ} \sim 3^{\circ}$
15. 喷嘴出口状态下的声速 $c_1' = \sqrt{n Z_1 R T_1} =$ {{ c_1_ | round }} $m/s$
    比较第 5、13、15 三项可知 $c_1 > c_1' > c^\ast$ 说明在喷嘴喉部截面之前已经达到声速
16. 喷嘴出口绝对速度马赫数 ${Ma}_{c1} = \frac {c_1} {c_1'} =$ {{ Ma_c1 | round }}
    一般在 ${Ma}_{c1} < 1.1 \sim 1.2$ 时仍可采用收缩喷嘴
17. 喷嘴中的能量损失 $q_N = (1 - \varphi ^ 2) h_{1s} =$ {{ q_N | round }} $J/kg$
18. 喷嘴中的相对能量损失 $\xi_N = \frac {q_N} {h_s'} =$ {{ xi_N | round }}
19. 喉部气体密度 $\rho^\ast = \frac {2} {n + 1} ^ \frac {1} {n - 1} \rho_0 = \frac {2} {n + 1} ^ \frac {1} {n - 1} \frac {p_0} {Z_0 R_g T_0} =$ {{ rho_ast | round }} $kg/m^3$

工作轮中的流动

1. 轮周速度 $u_1 = \bar{u}_1 c_s =$ {{ u_1 | round }} $m/s$
2. 出口圆周速度 $u_{2m} = \mu u_1' =$ {{ u_2m | round }} $m/s$
3. 工作轮进口气流角
   $\tan {\beta_1} = \frac {\sin {\alpha_1}} {\cos {\alpha_1} - \frac {u_1} {c_1}} =$ {{ tan_beta_1 | round }}
   $\beta_1 = 180 ^{\circ} +$ {{ beta_1_raw | rad_to_deg | round }} $^{\circ} =$ {{ beta_1 | rad_to_deg | round }} $^{\circ}$
4. 进工作轮相对速度 $w_1 = \frac {c_1 \sin {\alpha_1}} {\sin {\beta_1}} =$ {{ w_1 | round }} $m/s$
5. 进工作轮相对速度的圆周分速度 $w_{1u} = c_1 \cos{\alpha_1} - u_1 =$ {{ w_1u | round }} $m/s$
6. 进工作轮相对速度的径向分速度 $w_{1r} = c_1 \sin{\beta_1} =$ {{ w_1r | round }} $m/s$
7. 进工作轮处相对速度的马赫数 ${Ma}_{w_1} = \frac {w_1} {c_1'} =$ {{ Ma_w_1 | round }}，一般希望 ${Ma}_{w_1} < 0.5$，以免过大的进口损失。
8. 工作轮进口冲击损失 $q_{w_{1u}} = \frac {w_{1u}^2} {2} =$ {{ q_w_u1 | round }} $J/kg$，可忽略不计。
9. 工作轮进口比焓 $i_1' = i_1 + q_{w_{1u}} =$ {{ i_1_ | round }} $J/kg$，由于冲击损失很像，工作轮进口状态可以认为与喷嘴出口状态相同。
10. 由 $p_1, i_1$ 及 $p_3$ 从 i-s 图可查得工作轮出口等熵比焓 $i_{2s}'' =$ {{ i_2s__ | round }} $J/kg$
11. 工作轮等熵比焓降 $h_{2s} = i_1 - i_{2s}'' =$ {{ h_2s | round }} $J/kg$
12. 不考虑内部损失时，工作轮出口理想相对速度 $w_{2s} = \sqrt {2 h_{2s} + w_{1 \tau}^2 + u_{2m}^2 - u_1^2} =$ {{ w_2s | round }} $m/s$
13. 实际相对速度 $w_2 = \psi w_{2s} =$ {{ w_2 | round }} $m/s$
14. 工作轮中的能量损失 $q_r = \frac{1}{2} (w_{2s}^2 - w_2^2) =$ {{ q_r | round }} $J/kg$
    $\xi_r = \frac {q_r} {h_s'} =$ {{ xi_r | round }}
15. 工作轮出口实际比焓 $i_2 = i_{2s}'' + q_r =$ {{ i_2 | round }} $J/kg$
16. 由 $p_2, i_2$ 从 i-s 图可查得，工作轮出口实际温度 $T_2 =$ {{ T_2 | round }} $K$
17. 由 $p_3、T_2$ 从 Z-p 图中可查得 $Z_2 =$ {{ Z_2 | round }}
18. 工作轮出口实际气体密度 $\rho_2 = \frac {p_3} {Z_2 R_g T_2} =$ {{ rho_2 | round }} $kg/m^3$
19. 工作轮出口气流的绝对速度方向 $\tan {\alpha_2} = \frac {\sin {\beta_2}} {\cos {\beta_2} - \frac {u_2} {w_2}} =$ {{ tan_alpha_2 | round }}
    $\alpha_2 =$ {{ alpha_2 | rad_to_deg | round }} $^{\circ}$
20. 工作轮出口气流绝对速度 $c_2 = \frac{w_2 \sin {\beta_2}} {\sin {\alpha_2}} =$ {{ c_2 | round }} $m/s$
21. 余速损失 $q_K = \frac {c_2^2} {2} =$ {{ q_K | round }} $J/kg$, $\xi_K = \frac {q_K} {h_s'} =$ {{ xi_K | round }}
22. 流道效率 $\eta_u = 1 - \xi_N - \xi_r - \xi_K =$ {{ eta_u | round }}

喷嘴与工作轮基本尺寸的确定

1. 工作轮直径 $D_1 = \sqrt {\frac {q_m} {\pi (\frac {l_1} {D_1}) w_1 \sin {\beta_1} \rho_1 \tau_1}} =$ {{ D_1_raw | round }} $m$
   圆整后取 $D_1 =$ {{ D_1 | m_to_mm | round }} $mm$ 这时 $\frac {l_1} {D_1} = \frac {q_m} {\pi D_1^2 w_1 \sin {\beta_1} \rho_1 \tau_1} =$ {{ l_1_D_1_round | round }}
2. 喷嘴出口直径 $D_N = D_1 + 2 \Delta_1 = mm$，这里按固定叶片设计，因此取喷嘴与工作轮之间的径向间隙较小。如果采用转动喷嘴叶片调节，就必须加大间隙，由调节要求确定。
3. 喷嘴数 $Z_N$ 在固定叶片中可按图 4-13 选取，这里选取 $Z_N =$ {{ Z_N }}；如果采用大叶片，则可在 $8 \sim 12$ 之间选用
4. 喷嘴喉部宽度
   $b_N \approx \tau_N t_N \sin {\alpha_1'} = \frac {\pi D_N} {Z_N} \tau_N \sin {\alpha_1'} =$ {{ b_N | m_to_mm | round }} $mm$
5. 喷嘴叶片高度
   $l_N = \frac {q_m} {\rho^\ast c^\ast b_N Z_N} =$ {{ l_N | m_to_mm | round }} $mm$
6. 工作轮进口叶片高度 $l_1 = l_N + \Delta l = mm$ {{ l_1 | m_to_mm | round }} ，这里取过盖度 $\frac {\Delta l} {\Delta_1} = 1.7$（一般约为 $1.7 \sim 1.9$ )，$\Delta l = 1.7 \Delta_1 = mm$，因此 $\frac {l_1} {D_1} =$ {{ l_1_D_1_calculated | round }}，较大于原估取值，这里不再重新计算。
7. 工作轮出口平均直径 $D_{2m} = \mu D_1 =$ {{ D_2m | m_to_mm | round }} $mm$
8. 工作轮出口截面积（本体未考虑内部损失对 $\rho_2$ 的影响）
   $A_2 = \frac {q_m} {w_2 \sin {\beta_2} \rho_2 \tau_2} =$ {{ A_2 | round }} $m^2$
9. 工作轮出口内径
   $D_2'' = \sqrt{D_{2m}^2 - \frac {2 A_2} {\pi}} =$ {{ D_2__ | m_to_mm | round }} $mm$
10. 轮毂比 $k_r = \frac {D_2''} {D_1} =$ {{ k_r | round }}，与原取值相差不多，一般 $k_r = 0.2 \sim 0.3$
11. 工作轮出口外径
    $D_2' = \sqrt{D_{2m}^2 + \frac {2 A_2} {\pi}} =$ {{ D_2_ | m_to_mm | round }} $mm$
12. 出口叶片高度 $l_2 = \frac {D_2' - D_2''} {2} =$ {{ l_2 | m_to_mm | round }} $mm$
13. 进出口叶片平均高度 $l_m = \frac {l_1 + l_2} {2} =$ {{ l_m | m_to_mm | round }} $mm$
14. 轴向间隙比 $\frac {\delta} {l_m} =$ {{ delta_l_m | round }}，与原取值相差不多，这里取轴向间隙 $\delta = 0.4 mm$
15. 工作轮子午面扩散角
    $\theta = \arctan {\frac {2 (l_2 - l_1)} {D_1 - D_{2m}}} =$ {{ theta | rad_to_deg | round }} $^\circ$

内部损失计算

1. 轮背摩擦损失
   1. 由 $T_1, p_1$ 可查得空气的动力粘度 $\eta_1 =$ {{ eta_1 | round }} $Pa \cdot s$
   2. 运动粘度 $\nu_1 = \frac {\eta_1} {\rho_1} =$ {{ nu_1 | round }} $m^2/s$
   3. 以喷嘴出口参数定型的雷诺数
      $Re = \frac {u_1 D_1} {\nu_1} =$ {{ Re | round }}
   4. 轮背摩擦系数
      $\zeta_f = \frac {12.87} {10^3} \frac {1} {\sqrt[5]{Re}} =$ {{ zeta_f | round }}
      此值与原估取值相差不多。
   5. 轮背摩擦功率
      $P_B = K \zeta_f \rho_1 u_1^3 D_1^2 =$ {{ P_B | round }} $W$
      这里对半开式工作轮取 $K = 4$
   6. 单位轮背摩擦损失 $q_B = \frac {P_B} {q_m} =$ {{ q_B | round }} $J/kg$
   7. 相对轮背摩擦损失 $\xi_B = \frac {q_B} {h_s'} =$ {{ xi_B | round }}
2. 内泄漏损失
   $\xi_l = 1.3 \frac {\delta} {l_m} (\eta_u - \xi_B) =$ {{ xi_l | round }}
   $q_l = \xi_l h_s' =$ {{ q_l | round }} $J/kg$
3. 按通流部分焓降计算的等熵效率
   $\eta_s' = 1 - (\xi_N + \xi_r + \xi_K + \xi_l) =$ {{ eta_s_ | round }}
4. 进入扩压器时气体的比焓
   $i_2' = i_4 = i_2 + q_B + q_l =$ {{ i_2_ | round }} $J/kg$
5. 进入扩压器时气体由 $p_3, i_2'$ 可查得 $T_2' = T_4 =$ {{ T_2_ | round }} $K$

扩压器中的流动

1. 扩压后气体流速
   $c_3' = \sqrt {c_2^2 - \frac {2 \kappa} {\kappa - 1} Z_2' R_g T_2' \left [(\frac {p_2} {p_3}) ^ {\frac {n - 1} {n}} - 1 \right ] } =$ {{ c_3_ | round }} $m/s$
   符合一般的要求范围 $c_s' = 5 \sim 10 m/s$，这里估取 $\eta_K =$ {{ eta_K | round }}
   因此
   $\frac {n - 1} {n} = \frac {1} {\eta_K} \frac {\kappa - 1} {\kappa} =$ {{ n_1_n | round }} $, n =$ {{ n_ | round }}
   
2. 扩压器出口气体密度
   $\rho_3' = \rho_5 = (\frac {p_2} {p_3})^{\frac {1} {n}} \rho_2 =$ {{ rho_3_ | round }} $kg/m^3$
3. 扩压器出口温度
   $T_3' = T_5 = (\frac {p_2} {p_3}) ^ {\frac {n - 1} {n}} T_2' =$ {{ T_3_ | round }} $K$
4. 由 $p_2, T_3'$ 从 i-s 图可得扩压器出口实际比焓 $i_3' = i_5 =$ {{ i_3_ | round }} $J/kg$
5. 扩压器进口气体密度
   $\rho_2' = \frac {p_3} {Z_2' R_g T_2'} =$ {{ rho_2_ | round }} $kg/m^3$
6. 扩压器出口比焓校核
   $i_5 = i_2 + q_B + q_K + q_l =$ {{ i_5_verify | round }} $J/kg$
7. 扩压器进口直径
   为了使从工作轮排出的气流平滑过渡到扩压器，一般使扩压器进口直径等于工作轮出口外径，即
   $D_K = D_2' =$ {{ D_K | m_to_mm | round }} $mm$
8. 导流螺帽直径
   为了使工作轮排出的气流不至于突然减速，一般都在工作轮端加装导流螺帽，其直径等于工作轮出口内经，即
   $d = D_2'' =$ {{ d | m_to_mm | round }} $mm$
9. 扩压器出口直径
   $D_3 = \sqrt {\frac {4 q_m} {\pi c_3' \sin {\alpha_2} \rho_3'}} =$ {{ D_3 | m_to_mm | round }} $mm$
10. 扩压器长度
    $L = \frac {D_3 - D_K} {2 \tan {\alpha_K}} =$ {{ L | m_to_mm | round }} $mm$

效率、制冷量、功率和转速

1. 等熵效率
   $\eta_s = \frac {i_0 - i_5} {i_0 - i_{2s}} =$ {{ eta_s | round }}
2. 制冷量
   $Q_0 = \eta_s h_s q_m =$ {{ Q_0 | round }} $W$
3. 轴功率
   $P_T = \eta_e h_s q_m =$ {{ P_T | round }} $W$
4. 转速
   $n = \frac {60 u_1} {\pi D_1} =$ {{ n_rotation | round }} $r/min$ 上述计算所得的速度三角形及 i-s 图见图 TODO 与图 TODO，计算结果列与表 TODO 中的第 TODO 栏数据中。可以看出，表中后三栏的数据基本上是一致的，但是由于采用了扩压器，透平膨胀机实际的等熵效率提高了。

流道几何形状的确定

喷嘴叶片型线的选定及叶片的配置

1. 选用 TC-2P 型径向叶型
2. 选用相对跨距 $l_N = 0.60$，这时喷嘴叶片出口跨距
   $t_N = \frac {\pi D_N} {Z_N} =$ {{ t_N | m_to_mm | round }} $mm$$弦长$$b = \frac {t_N} {l_N} =$ {{ b | m_to_mm | round }} $mm$
3. 根据 TC-2P 叶型的试验数据，当 $l_N = 0.60$ 时，为了保证出口角 $\alpha_1' = 16^\circ$，要求叶片安装角 $\alpha_{1A} = 33^\circ$
4. 喷嘴叶片外径
   $D_0 \approx 2 \sqrt {R_N^2 + (ab)^2 + 2 a b \sin {\alpha_{1A}} R_N} =$ {{ D_0 | m_to_mm | round }} $mm$
5. 由所得的 $b$ 值按所选叶型的相对坐标作出叶型图形，由所得叶型图及安装角 $\alpha_{1A}$ 可以配置喷嘴叶片如图 TODO 所示。这时以叶尖出口点 A 为圆心，以计算所得的喷嘴喉部宽度 $b_N$为半径，所做圆弧应与叶型图背弧线相切。否则应重新修正 $l_N$ 值。
考虑到从蜗壳到喷嘴叶片的过渡，取喷嘴环的直径 $D_0' = mm$

工作轮形状的确定

1. 已知 $D_1 =$ {{ D_1 | m_to_mm | round }} $mm, D_2' =$ {{ D_2_ | m_to_mm | round }} $mm, D_2'' =$ {{ D_2__ | m_to_mm | round }} $mm, l_1 =$ {{ l_1 | m_to_mm | round }} $mm, \beta_1' =$ {{ beta_1_ | rad_to_deg | round }} $^\circ, \beta_2' =$ {{ beta_2_ | rad_to_deg | round }} $^\circ$
2. 工作轮叶片数 $Z_r =$ {{ Z_r }} 片
3. 叶片进口处厚度 $\delta_1 = 0.01 D_1 =$ {{ delta_1 | m_to_mm | round }} $mm$
4. 叶型部分轴向宽度 $B_r = 0.3 D_1 =$ {{ B_r | m_to_mm | round }} $mm$
5. 导向段出口叶片平均跨度 $t_{2m} = \frac {\pi (D_2' + D_2'')} {2 Z_r} =$ {{ t_2m | m_to_mm | round }} $mm$
6. 导向段轴向宽度 $B_D = \frac {t_{2m}} {0.77} =$ {{ B_D | m_to_mm | round }} $mm$
7. 轮盘基线进口倾斜角 $\theta_1 =$ {{ theta_1 | rad_to_deg | round }} $^\circ$；进口段直线长度先估取为 $0.15 D_1 =$ {{ l_in | m_to_mm | round }} $mm$，要看子午面型线变化而调整。
8. 出口轮毂段直线的倾斜角 $\theta_2 = 0^\circ$；出口直线段长度取为 $0.5 B_D =$ {{ l_out | m_to_mm | round }} $mm$，要根据 $R_B$ 调整。
9. 轮盘基线中部圆弧半径 $R_B = 0.22 D_1 \approx$ {{ R_B | m_to_mm | round }} $mm$
10. 工作轮叶片顶线圆弧半径 $R_G' = D_1 =$ {{ R_G_ | m_to_mm | round }} $mm$；$R_G'' = 0.11 D_1 \approx$ {{ R_G__ | m_to_mm | round }} $mm$
11. 按上述几何尺寸可作出工作轮轮盘子午面上的基线，此基线的回转面即为流场的基面。
12. 然后根据 $l_1, l_2$ 及流道的光滑过渡要求，用作图法最后确定 $R_G', R_G''$ 参见图 TODO。
13. 以轴线为中心的等直径圆柱面上导流段的曲线可按二次抛物线方程 $y = \frac {x^2} {2p}$ 确定，而
    $p = B_D \tan {\beta_2} =$ {{ B_D | m_to_mm | round }} $\tan {\beta_2}$
    $\tan {\beta_2} = \frac {c_{2r}} {u_2 - c_{2u}} = \frac {c_2} {u_2} =$ {{ c_2 | round }} $/ u_2$
    按 $c_2$ 为不变值代入计算，可得到该抛物线的坐标如表 TODO。
    图 TODO 给出了工作轮出口角 $\beta_2$ 与半径 $R_2$ 的关系。图 TODO 给出了每一个 $R_2$ 的圆柱面上导流段曲线的坐标 x, y 曲线。